Theorem rspssid 14938

Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺))

Proof of Theorem rspssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14910	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbasg 14901	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	sseq2d 3278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
9	7, 8	lspssid 14846	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → 𝐺 ⊆ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
10	1, 6, 9	syl2an2r 603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
11		rspcl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
12		rspvalg 14918	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
13	11, 12	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
14	13	fveq1d 5700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘𝐺) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺))
15	14	sseq2d 3278	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝐺 ⊆ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺)))
16	15	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝐺 ⊆ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘𝐺)))
17	10, 16	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5380  Basecbs 13410  Ringcrg 14407  LModclmod 14732  LSpanclspn 14832  ringLModcrglmod 14880  RSpancrsp 14914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-subg 14032  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-subrg 14636  df-lmod 14734  df-lssm 14799  df-lsp 14833  df-sra 14881  df-rgmod 14882  df-rsp 14916

This theorem is used by: (None)