Theorem wrdexb 11318

Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexb	|- ( S e. _V <-> Word S e. _V )

Proof of Theorem wrdexb

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 11317	. 2 |- ( S e. _V -> Word S e. _V )
2		c0ex 8320	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
3		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
4	2, 3	opex 4369	. . . . . . . 8 |- <. 0 , s >. e. _V
5	4	snid 3740	. . . . . . 7 |- <. 0 , s >. e. { <. 0 , s >. }
6		snopiswrd 11316	. . . . . . 7 |- ( s e. S -> { <. 0 , s >. } e. Word S )
7		elunii 3940	. . . . . . 7 |- ( ( <. 0 , s >. e. { <. 0 , s >. } /\ { <. 0 , s >. } e. Word S ) -> <. 0 , s >. e. U.Word S )
8	5, 6, 7	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( s e. S -> <. 0 , s >. e. U.Word S )
9	2, 3	opeluu 4596	. . . . . 6 |- ( <. 0 , s >. e. U.Word S -> ( 0 e. U. U. U.Word S /\ s e. U. U. U.Word S ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( s e. S -> ( 0 e. U. U. U.Word S /\ s e. U. U. U.Word S ) )
11	10	simprd 114	. . . 4 |- ( s e. S -> s e. U. U. U.Word S )
12	11	ssriv 3252	. . 3 |- S C_ U. U. U.Word S
13		uniexg 4585	. . . 4 |- (Word S e. _V -> U.Word S e. _V )
14		uniexg 4585	. . . 4 |- ( U.Word S e. _V -> U. U.Word S e. _V )
15		uniexg 4585	. . . 4 |- ( U. U.Word S e. _V -> U. U. U.Word S e. _V )
16	13, 14, 15	3syl 17	. . 3 |- (Word S e. _V -> U. U. U.Word S e. _V )
17		ssexg 4272	. . 3 |- ( ( S C_ U. U. U.Word S /\ U. U. U.Word S e. _V ) -> S e. _V )
18	12, 16, 17	sylancr 418	. 2 |- (Word S e. _V -> S e. _V )
19	1, 18	impbii 126	1 |- ( S e. _V <-> Word S e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3709   <.cop 3712   U.cuni 3935   0cc0 8179  Word cword 11306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-word 11307

This theorem is used by: (None)