Theorem wrdexg 11022

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	|- ( S e. V -> Word S e. _V )

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 11014	. 2 |- ( S e. V -> Word S = U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) )
2		nn0ex 9316	. . 3 |- NN0 e. _V
3		fnmap 6754	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4		elex 2785	. . . . 5 |- ( S e. V -> S e. _V )
5		0z 9398	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		nn0z 9407	. . . . . . . 8 |- ( l e. NN0 -> l e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> l e. ZZ )
8		fzofig 10594	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( 0..^ l ) e. Fin )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> ( 0..^ l ) e. Fin )
10	9	elexd 2787	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> ( 0..^ l ) e. _V )
11		fnovex 5989	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ S e. _V /\ ( 0..^ l ) e. _V ) -> ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
12	3, 4, 10, 11	mp3an2ani 1357	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
13	12	ralrimiva 2580	. . 3 |- ( S e. V -> A. l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
14		iunexg 6216	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A. l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V ) -> U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. 2 |- ( S e. V -> U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrd 2283	1 |- ( S e. V -> Word S e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   U_ciun 3932   X. cxp 4680   Fn wfn 5274  (class class class)co 5956   ^m cmap 6747   Fincfn 6839   0cc0 7940   NN0cn0 9310   ZZcz 9387  ..^cfzo 10279  Word cword 11011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-map 6749  df-en 6840  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-word 11012

This theorem is referenced by:  wrdexb  11023  wrdexi  11024  elovmpowrd  11052