Theorem wrdexg 11100

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	|- ( S e. V -> Word S e. _V )

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 11092	. 2 |- ( S e. V -> Word S = U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) )
2		nn0ex 9391	. . 3 |- NN0 e. _V
3		fnmap 6815	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4		elex 2811	. . . . 5 |- ( S e. V -> S e. _V )
5		0z 9473	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		nn0z 9482	. . . . . . . 8 |- ( l e. NN0 -> l e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> l e. ZZ )
8		fzofig 10671	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( 0..^ l ) e. Fin )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> ( 0..^ l ) e. Fin )
10	9	elexd 2813	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> ( 0..^ l ) e. _V )
11		fnovex 6043	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ S e. _V /\ ( 0..^ l ) e. _V ) -> ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
12	3, 4, 10, 11	mp3an2ani 1378	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ l e. NN0 ) -> ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
13	12	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( S e. V -> A. l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
14		iunexg 6273	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A. l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V ) -> U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. 2 |- ( S e. V -> U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0..^ l ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrd 2306	1 |- ( S e. V -> Word S e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   U_ciun 3965   X. cxp 4718   Fn wfn 5316  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   Fincfn 6900   0cc0 8015   NN0cn0 9385   ZZcz 9462  ..^cfzo 10355  Word cword 11089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-word 11090

This theorem is referenced by:  wrdexb  11101  wrdexi  11102  elovmpowrd  11131  wksfval  16094  wlkex  16097  clwwlkg  16162  clwwlkex  16167