Theorem srg1expzeq1 13953

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 13681. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srg1expzeq1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
srg1expzeq1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 13926	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
3		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13681	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
7	2, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidvalg 13919	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘𝐺))
10	9	oveq2d 6016	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑁 · 1 ) = (𝑁 · (0g‘𝐺)))
11	10, 9	eqeq12d 2244	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
12	11	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
13	7, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℕ₀cn0 9365  Basecbs 13027  0_gc0g 13284  Mndcmnd 13444  ._gcmg 13651  mulGrpcmgp 13878  1_rcur 13917  SRingcsrg 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-minusg 13532  df-mulg 13652  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-srg 13922

This theorem is referenced by: (None)