Theorem srg1expzeq1 12971

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 12868. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srg1expzeq1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
srg1expzeq1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 12944	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
3		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 12868	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
7	2, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidvalg 12937	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘𝐺))
10	9	oveq2d 5881	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑁 · 1 ) = (𝑁 · (0g‘𝐺)))
11	10, 9	eqeq12d 2190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
12	11	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
13	7, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℕ₀cn0 9147  Basecbs 12428  0_gc0g 12626  Mndcmnd 12682  ._gcmg 12842  mulGrpcmgp 12925  1_rcur 12935  SRingcsrg 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-minusg 12742  df-mulg 12843  df-mgp 12926  df-ur 12936  df-srg 12940

This theorem is referenced by: (None)