Theorem srg1expzeq1 14007

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 13735. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srg1expzeq1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
srg1expzeq1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 13980	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13735	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
7	2, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidvalg 13973	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘𝐺))
10	9	oveq2d 6033	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑁 · 1 ) = (𝑁 · (0g‘𝐺)))
11	10, 9	eqeq12d 2246	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
12	11	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
13	7, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℕ₀cn0 9401  Basecbs 13081  0_gc0g 13338  Mndcmnd 13498  ._gcmg 13705  mulGrpcmgp 13932  1_rcur 13971  SRingcsrg 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-minusg 13586  df-mulg 13706  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-srg 13976

This theorem is referenced by: (None)