Theorem srg1expzeq1 14406

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 14011. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srg1expzeq1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
srg1expzeq1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 14379	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 14011	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
7	2, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	1, 8	ringidvalg 14371	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘𝐺))
10	9	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑁 · 1 ) = (𝑁 · (0g‘𝐺)))
11	10, 9	eqeq12d 2253	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
12	11	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 1 ) = 1 ↔ (𝑁 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
13	7, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1 ) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13410  0_gc0g 13669  Mndcmnd 13788  ._gcmg 13981  mulGrpcmgp 14324  1_rcur 14369  SRingcsrg 14374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375

This theorem is used by: (None)