Theorem strext 12808

Description: Extending the upper range of a structure. This works because when we say that a structure has components in 𝐴...𝐶 we are not saying that every slot in that range is present, just that all the slots that are present are within that range. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strext.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
strext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
strext	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐶⟩)

Proof of Theorem strext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strext.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		isstructim 12717	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
4	3	simp1d 1011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	simp1d 1011	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6	4	simp2d 1012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7		strext.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
8		eluznn 9691	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
10	5	nnred 9020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	6	nnred 9020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	9	nnred 9020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	4	simp3d 1013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
14		eluzle 9630	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15	7, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
16	10, 11, 12, 13, 15	letrd 8167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
17	3	simp2d 1012	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
18		structex 12715	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
19	1, 18	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20	3	simp3d 1013	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
21		fzss2 10156	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐶))
22	7, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐶))
23	20, 22	sstrd 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐶))
24		isstructr 12718	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ 𝐹 ∈ V ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐶))) → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐶⟩)
25	5, 9, 16, 17, 19, 23, 24	syl33anc 1264	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∖ cdif 3154   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  {csn 3623  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  dom cdm 4664  Fun wfun 5253  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ≤ cle 8079  ℕcn 9007  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100   Struct cstr 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705

This theorem is referenced by: (None)