Theorem structgrssvtx 15966

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structgrssvtx.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
3		structgrssvtx.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
4		structgrssvtx.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
5	1, 2, 3, 4	structgr2slots2dom 15965	. 2 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
6		basendxnn 13201	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
7		opexg 4326	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
8	6, 2, 7	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
9		edgfndxnn 15932	. . . . . 6 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
10		opexg 4326	. . . . . 6 ⊢ (((.ef‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑍) → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V)
11	9, 3, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V)
12		prssg 3835	. . . . 5 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V) → ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺))
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺))
14	4, 13	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺))
15	14	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
16	1, 5, 2, 15	basvtxval2dom 15958	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {cpr 3674  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  ℕcn 9185   Struct cstr 13141  ndxcnx 13142  Basecbs 13145  .efcedgf 15928  Vtxcvtx 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-1o 6625  df-2o 6626  df-en 6953  df-dom 6954  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938

This theorem is referenced by: (None)