Theorem structgrssvtx 15892

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structgrssvtx.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
3		structgrssvtx.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
4		structgrssvtx.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
5	1, 2, 3, 4	structgr2slots2dom 15891	. 2 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
6		basendxnn 13137	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
7		opexg 4320	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
8	6, 2, 7	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
9		edgfndxnn 15858	. . . . . 6 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
10		opexg 4320	. . . . . 6 ⊢ (((.ef‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑍) → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V)
11	9, 3, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V)
12		prssg 3830	. . . . 5 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V) → ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺))
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺))
14	4, 13	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺))
15	14	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
16	1, 5, 2, 15	basvtxval2dom 15884	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  {cpr 3670  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  ℕcn 9142   Struct cstr 13077  ndxcnx 13078  Basecbs 13081  .efcedgf 15854  Vtxcvtx 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864

This theorem is referenced by: (None)