Theorem subgbas 13758

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5	3	issubg 13753	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
6	5	simp1bi 1036	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	3	subgss 13754	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13144	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075   ↾_s cress 13076  Grpcgrp 13576  SubGrpcsubg 13747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-inn 9137  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-subg 13750

This theorem is referenced by:  subg0  13760  subginv  13761  subg0cl  13762  subginvcl  13763  subgcl  13764  subgsub  13766  subgmulg  13768  issubg2m  13769  subsubg  13777  nmznsg  13793  subgabl  13912  subrngbas  14213  issubrng2  14217  subrgbas  14237  issubrg2  14248