Theorem subgbas 13788

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2230	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5	3	issubg 13783	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
6	5	simp1bi 1038	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	3	subgss 13784	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13174	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105   ↾_s cress 13106  Grpcgrp 13606  SubGrpcsubg 13777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-inn 9149  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-subg 13780

This theorem is referenced by:  subg0  13790  subginv  13791  subg0cl  13792  subginvcl  13793  subgcl  13794  subgsub  13796  subgmulg  13798  issubg2m  13799  subsubg  13807  nmznsg  13823  subgabl  13942  subrngbas  14244  issubrng2  14248  subrgbas  14268  issubrg2  14279