Theorem subgbas 13884

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5	3	issubg 13879	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
6	5	simp1bi 1039	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	3	subgss 13880	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13270	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201   ↾_s cress 13202  Grpcgrp 13702  SubGrpcsubg 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-inn 9234  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-subg 13876

This theorem is referenced by:  subg0  13886  subginv  13887  subg0cl  13888  subginvcl  13889  subgcl  13890  subgsub  13892  subgmulg  13894  issubg2m  13895  subsubg  13903  nmznsg  13919  subgabl  14038  subrngbas  14340  issubrng2  14344  subrgbas  14364  issubrg2  14375