Theorem subgbas 13916

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5	3	issubg 13911	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
6	5	simp1bi 1039	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	3	subgss 13912	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 13302	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3213  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233   ↾_s cress 13234  Grpcgrp 13734  SubGrpcsubg 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9243  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-subg 13908

This theorem is referenced by:  subg0  13918  subginv  13919  subg0cl  13920  subginvcl  13921  subgcl  13922  subgsub  13924  subgmulg  13926  issubg2m  13927  subsubg  13935  nmznsg  13951  subgabl  14070  subrngbas  14374  issubrng2  14378  subrgbas  14398  issubrg2  14409