Theorem subgbas 12969

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2177	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5	3	issubg 12964	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
6	5	simp1bi 1012	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	3	subgss 12965	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
8	2, 4, 6, 7	ressbas2d 12520	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454   ↾_s cress 12455  Grpcgrp 12809  SubGrpcsubg 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-inn 8916  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-subg 12961

This theorem is referenced by:  subg0  12971  subginv  12972  subg0cl  12973  subginvcl  12974  subgcl  12975  subgsub  12977  subgmulg  12979  issubg2m  12980  subsubg  12988  nmznsg  13004  subrgbas  13289  issubrg2  13300