Theorem subsubm 13849

Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subsubm	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)))

Proof of Theorem subsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2	1	submss 13842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻))
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻))
4		subsubm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
5	4	submbas 13847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	3, 6	sseqtrrd 3287	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
8		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	8	submss 13842	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	sstrd 3258	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
12		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	4, 12	subm0 13848	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
15		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
16	15	subm0cl 13844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴)
17	16	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴)
19	4	oveq1i 6098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴)
20		submrcl 13837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
22		ressabsg 13489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Mnd) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
23	21, 22	mpd3an3 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
24	19, 23	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
25	7, 24	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
26		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐻 ↾s 𝐴)
27	26	submmnd 13846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
28	27	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
29	25, 28	eqeltrrd 2316	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
30	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐺 ∈ Mnd)
31		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
32	8, 12, 31	issubm2 13839	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
33	30, 32	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
34	11, 18, 29, 33	mpbir3and 1211	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺))
35	34, 7	jca 306	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆))
36		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
37	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
38	36, 37	sseqtrd 3286	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻))
39	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
40	12	subm0cl 13844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴)
41	40	ad2antrl 494	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴)
42	39, 41	eqeltrrd 2316	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴)
43	24	adantrl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
44	31	submmnd 13846	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
45	44	ad2antrl 494	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
46	43, 45	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
47	4	submmnd 13846	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
48	47	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
49	1, 15, 26	issubm2 13839	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
50	48, 49	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
51	38, 42, 46, 50	mpbir3and 1211	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻))
52	35, 51	impbida 604	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410   ↾_s cress 13411  0_gc0g 13669  Mndcmnd 13788  SubMndcsubmnd 13824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-submnd 13826

This theorem is used by: (None)