Proof of Theorem subsubm
| Step | Hyp | Ref
 | Expression | 
| 1 |   | eqid 2196 | 
. . . . . . . 8
⊢
(Base‘𝐻) =
(Base‘𝐻) | 
| 2 | 1 | submss 13108 | 
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻)) | 
| 3 | 2 | adantl 277 | 
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻)) | 
| 4 |   | subsubm.h | 
. . . . . . . 8
⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆) | 
| 5 | 4 | submbas 13113 | 
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻)) | 
| 6 | 5 | adantr 276 | 
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 = (Base‘𝐻)) | 
| 7 | 3, 6 | sseqtrrd 3222 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ 𝑆) | 
| 8 |   | eqid 2196 | 
. . . . . . 7
⊢
(Base‘𝐺) =
(Base‘𝐺) | 
| 9 | 8 | submss 13108 | 
. . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) | 
| 10 | 9 | adantr 276 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) | 
| 11 | 7, 10 | sstrd 3193 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) | 
| 12 |   | eqid 2196 | 
. . . . . . 7
⊢
(0g‘𝐺) = (0g‘𝐺) | 
| 13 | 4, 12 | subm0 13114 | 
. . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) →
(0g‘𝐺) =
(0g‘𝐻)) | 
| 14 | 13 | adantr 276 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)) | 
| 15 |   | eqid 2196 | 
. . . . . . 7
⊢
(0g‘𝐻) = (0g‘𝐻) | 
| 16 | 15 | subm0cl 13110 | 
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) →
(0g‘𝐻)
∈ 𝐴) | 
| 17 | 16 | adantl 277 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴) | 
| 18 | 14, 17 | eqeltrd 2273 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴) | 
| 19 | 4 | oveq1i 5932 | 
. . . . . . 7
⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) | 
| 20 |   | submrcl 13103 | 
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd) | 
| 21 | 20 | adantr 276 | 
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd) | 
| 22 |   | ressabsg 12754 | 
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Mnd) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 23 | 21, 22 | mpd3an3 1349 | 
. . . . . . 7
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 24 | 19, 23 | eqtrid 2241 | 
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 25 | 7, 24 | syldan 282 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 26 |   | eqid 2196 | 
. . . . . . 7
⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐻 ↾s 𝐴) | 
| 27 | 26 | submmnd 13112 | 
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 28 | 27 | adantl 277 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 29 | 25, 28 | eqeltrrd 2274 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 30 | 20 | adantr 276 | 
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐺 ∈ Mnd) | 
| 31 |   | eqid 2196 | 
. . . . . 6
⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴) | 
| 32 | 8, 12, 31 | issubm2 13105 | 
. . . . 5
⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 33 | 30, 32 | syl 14 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 34 | 11, 18, 29, 33 | mpbir3and 1182 | 
. . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺)) | 
| 35 | 34, 7 | jca 306 | 
. 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) | 
| 36 |   | simprr 531 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆) | 
| 37 | 5 | adantr 276 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻)) | 
| 38 | 36, 37 | sseqtrd 3221 | 
. . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻)) | 
| 39 | 13 | adantr 276 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)) | 
| 40 | 12 | subm0cl 13110 | 
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) →
(0g‘𝐺)
∈ 𝐴) | 
| 41 | 40 | ad2antrl 490 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴) | 
| 42 | 39, 41 | eqeltrrd 2274 | 
. . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴) | 
| 43 | 24 | adantrl 478 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 44 | 31 | submmnd 13112 | 
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 45 | 44 | ad2antrl 490 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 46 | 43, 45 | eqeltrd 2273 | 
. . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 47 | 4 | submmnd 13112 | 
. . . . 5
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd) | 
| 48 | 47 | adantr 276 | 
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd) | 
| 49 | 1, 15, 26 | issubm2 13105 | 
. . . 4
⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 50 | 48, 49 | syl 14 | 
. . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 51 | 38, 42, 46, 50 | mpbir3and 1182 | 
. 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) | 
| 52 | 35, 51 | impbida 596 | 
1
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆))) |