Theorem sumsqeq0 10566

Description: Two real numbers are equal to 0 iff their Euclidean norm is. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sumsqeq0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A = 0 /\ B = 0 ) <-> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = 0 ) )

Proof of Theorem sumsqeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl 10555	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) e. RR )
2		sqge0 10564	. . . 4 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ 2 ) ) )
4		resqcl 10555	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( B ^ 2 ) e. RR )
5		sqge0 10564	. . . 4 |- ( B e. RR -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
6	4, 5	jca 306	. . 3 |- ( B e. RR -> ( ( B ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ 2 ) ) )
7		add20 8405	. . 3 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ 2 ) ) /\ ( ( B ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( A ^ 2 ) = 0 /\ ( B ^ 2 ) = 0 ) ) )
8	3, 6, 7	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( A ^ 2 ) = 0 /\ ( B ^ 2 ) = 0 ) ) )
9		recn 7919	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
10		sqeq0 10551	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A ^ 2 ) = 0 <-> A = 0 ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( A ^ 2 ) = 0 <-> A = 0 ) )
12		recn 7919	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
13		sqeq0 10551	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( ( B ^ 2 ) = 0 <-> B = 0 ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( B e. RR -> ( ( B ^ 2 ) = 0 <-> B = 0 ) )
15	11, 14	bi2anan9 606	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A ^ 2 ) = 0 /\ ( B ^ 2 ) = 0 ) <-> ( A = 0 /\ B = 0 ) ) )
16	8, 15	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A = 0 /\ B = 0 ) <-> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   + caddc 7789   <_ cle 7967   2c2 8941   ^cexp 10487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-exp 10488

This theorem is referenced by: (None)