Theorem metcnpi 13165

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with function arguments as in metcnp 13162. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
2		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
4		metcn.2	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` C )
5	4	mopntopon 13093	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6	5	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7	4	mopnuni 13095	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
9	8	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J ) )
10	6, 9	eleqtrd 2245	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
11		metcn.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 13093	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 12662	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	3, 12, 13	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
15		cnprcl2k 12856	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
16	10, 14, 1, 15	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
17	16, 8	eleqtrrd 2246	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
18	4, 11	metcnp 13162	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) ) )
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) ) )
20	1, 19	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) )
21		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z <-> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )
22	21	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) <-> ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
23	22	rexralbidv 2492	. . . 4 |- ( z = A -> ( E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) <-> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
24	23	rspccv 2827	. . 3 |- ( A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
25	20, 24	simpl2im 384	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
26	25	impr 377	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   < clt 7933   RR+crp 9589   *Metcxmet 12630   MetOpencmopn 12635   Topctop 12645  TopOnctopon 12658   CnP ccnp 12836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12637  df-xmet 12638  df-bl 12640  df-mopn 12641  df-top 12646  df-topon 12659  df-bases 12691  df-cnp 12839

This theorem is referenced by: (None)