Theorem metcnpi 15072

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with function arguments as in metcnp 15069. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
2		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
4		metcn.2	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` C )
5	4	mopntopon 15000	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7	4	mopnuni 15002	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
9	8	fveq2d 5598	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J ) )
10	6, 9	eleqtrd 2285	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
11		metcn.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 15000	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 14571	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	3, 12, 13	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
15		cnprcl2k 14763	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
16	10, 14, 1, 15	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
17	16, 8	eleqtrrd 2286	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
18	4, 11	metcnp 15069	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) ) )
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) ) )
20	1, 19	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) )
21		breq2 4058	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z <-> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) <-> ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
23	22	rexralbidv 2533	. . . 4 |- ( z = A -> ( E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) <-> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
24	23	rspccv 2878	. . 3 |- ( A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
25	20, 24	simpl2im 386	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
26	25	impr 379	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   U.cuni 3859   class class class wbr 4054   -->wf 5281   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   < clt 8137   RR+crp 9805   *Metcxmet 14383   MetOpencmopn 14388   Topctop 14554  TopOnctopon 14567   CnP ccnp 14743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-map 6755  df-sup 7107  df-inf 7108  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-xneg 9924  df-xadd 9925  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-topgen 13177  df-psmet 14390  df-xmet 14391  df-bl 14393  df-mopn 14394  df-top 14555  df-topon 14568  df-bases 14600  df-cnp 14746

This theorem is referenced by: (None)