Theorem metcnpi 14929

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with function arguments as in metcnp 14926. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnpi	|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, X, y   x, Y, y   x, A, y   x, C, y   x, D, y   x, P, y

Proof of Theorem metcnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
2		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> C e. ( *Met ` X ) )
3		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
4		metcn.2	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` C )
5	4	mopntopon 14857	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7	4	mopnuni 14859	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
9	8	fveq2d 5579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J ) )
10	6, 9	eleqtrd 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
11		metcn.4	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` D )
12	11	mopntopon 14857	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 14428	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	3, 12, 13	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
15		cnprcl2k 14620	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
16	10, 14, 1, 15	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. U. J )
17	16, 8	eleqtrrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
18	4, 11	metcnp 14926	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) ) )
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) ) )
20	1, 19	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) ) )
21		breq2 4047	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z <-> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) <-> ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
23	22	rexralbidv 2531	. . . 4 |- ( z = A -> ( E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) <-> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
24	23	rspccv 2873	. . 3 |- ( A. z e. RR+ E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < z ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
25	20, 24	simpl2im 386	. 2 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( A e. RR+ -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) ) )
26	25	impr 379	1 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ A e. RR+ ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. X ( ( P C y ) < x -> ( ( F ` P ) D ( F ` y ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   U.cuni 3849   class class class wbr 4043   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   < clt 8106   RR+crp 9774   *Metcxmet 14240   MetOpencmopn 14245   Topctop 14411  TopOnctopon 14424   CnP ccnp 14600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-cnp 14603

This theorem is referenced by: (None)