Theorem umgrnloop 15937

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop	|- ( G e. UMGraph -> ( E. x e. dom E ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem umgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = (iEdg ` G )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
3	1, 2	umgredgprv 15936	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> ( M e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) ) )
4	3	imp 124	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> ( M e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
5	1	umgrnloopv 15935	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UMGraph /\ M e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) )
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( G e. UMGraph -> ( M e. (Vtx ` G ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) ) )
7	6	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. UMGraph -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> ( M e. (Vtx ` G ) -> M =/= N ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> ( M e. (Vtx ` G ) -> M =/= N ) ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> ( M e. (Vtx ` G ) -> M =/= N ) )
10	9	com12 30	. . . 4 |- ( M e. (Vtx ` G ) -> ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> M =/= N ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> M =/= N ) )
12	4, 11	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> M =/= N )
13	12	rexlimdva2 2651	1 |- ( G e. UMGraph -> ( E. x e. dom E ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   {cpr 3667   dom cdm 4720   ` cfv 5321  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  UMGraphcumgr 15913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-uhgrm 15890  df-upgren 15914  df-umgren 15915

This theorem is referenced by:  umgrnloop0  15938  usgrnloop  16021