Theorem umgrnloop 16128

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop	|- ( G e. UMGraph -> ( E. x e. dom E ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem umgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = (iEdg ` G )
2		eqid 2234	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
3	1, 2	umgredgprv 16127	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> ( M e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) ) )
4	3	imp 124	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> ( M e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) )
5	1	umgrnloopv 16126	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UMGraph /\ M e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) )
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( G e. UMGraph -> ( M e. (Vtx ` G ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) ) )
7	6	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. UMGraph -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> ( M e. (Vtx ` G ) -> M =/= N ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) -> ( ( E ` x ) = { M , N } -> ( M e. (Vtx ` G ) -> M =/= N ) ) )
9	8	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> ( M e. (Vtx ` G ) -> M =/= N ) )
10	9	com12 30	. . . 4 |- ( M e. (Vtx ` G ) -> ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> M =/= N ) )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. (Vtx ` G ) /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> M =/= N ) )
12	4, 11	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ x e. dom E ) /\ ( E ` x ) = { M , N } ) -> M =/= N )
13	12	rexlimdva2 2665	1 |- ( G e. UMGraph -> ( E. x e. dom E ( E ` x ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   E.wrex 2523   {cpr 3692   dom cdm 4751   ` cfv 5354  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UMGraphcumgr 16104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8448  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-dec 9713  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-uhgrm 16081  df-upgren 16105  df-umgren 16106

This theorem is referenced by:  umgrnloop0  16129  usgrnloop  16214