Theorem umgrnloop 16237

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	umgredgprv 16236	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
4	3	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5	1	umgrnloopv 16235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁)))
7	6	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
9	8	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀 ≠ 𝑁))
10	9	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁))
12	4, 11	mpcom 36	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁)
13	12	rexlimdva2 2665	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523  {cpr 3695  dom cdm 4754  ‘cfv 5357  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UMGraphcumgr 16213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-uhgrm 16190  df-upgren 16214  df-umgren 16215

This theorem is referenced by:  umgrnloop0  16238  usgrnloop  16323