Theorem umgrnloop 15960

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	umgredgprv 15959	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
4	3	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5	1	umgrnloopv 15958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁)))
7	6	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
9	8	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀 ≠ 𝑁))
10	9	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁))
12	4, 11	mpcom 36	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁)
13	12	rexlimdva2 2651	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509  {cpr 3668  dom cdm 4723  ‘cfv 5324  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  UMGraphcumgr 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-uhgrm 15913  df-upgren 15937  df-umgren 15938

This theorem is referenced by:  umgrnloop0  15961  usgrnloop  16046