Theorem unitdvcl 14153

Description: The units are closed under division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitdvcl.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitdvcl.d	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitdvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2232	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
3		unitdvcl.o	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		eqidd 2232	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
6		unitdvcl.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → / = (/r‘𝑅))
8		simp1 1023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringsrg 14063	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
10	9	3ad2ant1 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
11		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	1, 4, 10, 11	unitcld 14125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
13		simp3 1025	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	1, 2, 4, 5, 7, 8, 12, 13	dvrvald 14151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
15		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16	3, 15	unitinvcl 14140	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
17	16	3adant2 1042	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
18		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	3, 18	unitmulcl 14130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝑈)
20	17, 19	syld3an3 1318	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝑈)
21	14, 20	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  ._rcmulr 13163  SRingcsrg 13979  Ringcrg 14012  Unitcui 14103  inv_rcinvr 14137  /_rcdvr 14148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-cmn 13875  df-abl 13876  df-mgp 13937  df-ur 13976  df-srg 13980  df-ring 14014  df-oppr 14084  df-dvdsr 14105  df-unit 14106  df-invr 14138  df-dvr 14149

This theorem is referenced by: (None)