Theorem usgredg3 15977

Description: The value of the "edge function" of a simple graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg3.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgredg3	|- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ ( E ` X ) = { x , y } ) )

Distinct variable groups:   x, E, y   x, G, y   x, V, y   x, X, y

Proof of Theorem usgredg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfun 15924	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
2		usgredg3.e	. . . . . 6 |- E = (iEdg ` G )
3	2	funeqi 5315	. . . . 5 |- ( Fun E <-> Fun (iEdg ` G ) )
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> Fun E )
5		fvelrn 5739	. . . 4 |- ( ( Fun E /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. ran E )
6	4, 5	sylan 283	. . 3 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. ran E )
7		edgvalg 15825	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
8	2	eqcomi 2213	. . . . . 6 |- (iEdg ` G ) = E
9	8	rneqi 4928	. . . . 5 |- ran (iEdg ` G ) = ran E
10	7, 9	eqtrdi 2258	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> (Edg ` G ) = ran E )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> (Edg ` G ) = ran E )
12	6, 11	eleqtrrd 2289	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. (Edg ` G ) )
13		usgredg3.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
14		eqid 2209	. . 3 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
15	13, 14	usgredg 15963	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ ( E ` X ) e. (Edg ` G ) ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ ( E ` X ) = { x , y } ) )
16	12, 15	syldan 282	1 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ ( E ` X ) = { x , y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   =/= wne 2380   E.wrex 2489   {cpr 3647   dom cdm 4696   ran crn 4697   Fun wfun 5288   ` cfv 5294  Vtxcvtx 15778  iEdgciedg 15779  Edgcedg 15823  USGraphcusgr 15917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-1o 6532  df-2o 6533  df-er 6650  df-en 6858  df-sub 8287  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-dec 9547  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-edgf 15771  df-vtx 15780  df-iedg 15781  df-edg 15824  df-umgren 15859  df-usgren 15919

This theorem is referenced by:  usgredg4  15978