Theorem usgredg3 16094

Description: The value of the "edge function" of a simple graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg3.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgredg3	|- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ ( E ` X ) = { x , y } ) )

Distinct variable groups:   x, E, y   x, G, y   x, V, y   x, X, y

Proof of Theorem usgredg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfun 16041	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
2		usgredg3.e	. . . . . 6 |- E = (iEdg ` G )
3	2	funeqi 5349	. . . . 5 |- ( Fun E <-> Fun (iEdg ` G ) )
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> Fun E )
5		fvelrn 5781	. . . 4 |- ( ( Fun E /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. ran E )
6	4, 5	sylan 283	. . 3 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. ran E )
7		edgvalg 15939	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
8	2	eqcomi 2234	. . . . . 6 |- (iEdg ` G ) = E
9	8	rneqi 4962	. . . . 5 |- ran (iEdg ` G ) = ran E
10	7, 9	eqtrdi 2279	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> (Edg ` G ) = ran E )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> (Edg ` G ) = ran E )
12	6, 11	eleqtrrd 2310	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. (Edg ` G ) )
13		usgredg3.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
14		eqid 2230	. . 3 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
15	13, 14	usgredg 16080	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ ( E ` X ) e. (Edg ` G ) ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ ( E ` X ) = { x , y } ) )
16	12, 15	syldan 282	1 |- ( ( G e. USGraph /\ X e. dom E ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ ( E ` X ) = { x , y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   =/= wne 2401   E.wrex 2510   {cpr 3671   dom cdm 4727   ran crn 4728   Fun wfun 5322   ` cfv 5328  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  Edgcedg 15937  USGraphcusgr 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-edg 15938  df-umgren 15974  df-usgren 16036

This theorem is referenced by:  usgredg4  16095