Theorem usgruspgr 16629

Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem usgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isusgren 16604	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
4		olc 723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o))
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑥 ≈ 2o → (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)))
6	5	ss2rabi 3330	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}
7		f1ss 5607	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
8	6, 7	mpan2 429	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
9	3, 8	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
10	1, 2	isuspgren 16603	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
11	9, 10	sylibrd 169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph))
12	11	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  –1-1→wf1 5377  ‘cfv 5380  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  USPGraphcuspgr 16599  USGraphcusgr 16600

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-uspgren 16601  df-usgren 16602

This theorem is used by:  usgrumgruspgr  16631  usgruspgrben  16632  usgrupgr  16634  usgrislfuspgrdom  16636  usgredg2vtxeu  16665  usgredgedg  16673  usgredgdomord  16676  vtxdusgrfvedgfi  16748