Theorem usgrislfuspgrdom 16414

Description: A simple graph is a loop-free simple pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrislfuspgr.v	|- V = (Vtx ` G )
usgrislfuspgr.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgrislfuspgrdom	|- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem usgrislfuspgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruspgr 16407	. . 3 |- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )
2		usgrislfuspgr.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
3		usgrislfuspgr.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
4	2, 3	usgrfen 16384	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
5		f1f 5596	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
6		ensym 7062	. . . . . . . . 9 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~~ x )
7		endom 7043	. . . . . . . . 9 |- ( 2o ~~ x -> 2o ~<_ x )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x )
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P V -> ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x ) )
10	9	ss2rabi 3330	. . . . . 6 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
12	5, 11	fssd 5545	. . . 4 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( G e. USGraph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
14	1, 13	jca 306	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
15	2, 3	uspgrfen 16383	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
16		df-f1 5380	. . . . . 6 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ Fun `' I ) )
17		fin 5576	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
18		umgrislfupgrenlem 16354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o }
19		feq3 5516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
21	17, 20	sylbb1 137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) /\ Fun `' I ) -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ Fun `' I ) )
23		df-f1 5380	. . . . . . . . 9 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ Fun `' I ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) /\ Fun `' I ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
25	24	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( Fun `' I -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
26	25	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ Fun `' I ) -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
27	16, 26	sylbi 121	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
28	27	imp 124	. . . 4 |- ( ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
29	15, 28	sylan 283	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
30	2, 3	isusgren 16382	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USGraph <-> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
31	30	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( G e. USGraph <-> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
32	29, 31	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> G e. USGraph )
33	14, 32	impbii 126	1 |- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   `'ccnv 4771   dom cdm 4772   Fun wfun 5369   -->wf 5371   -1-1->wf1 5372   ` cfv 5375   1oc1o 6674   2oc2o 6675   ~~ cen 7014   ~<_ cdom 7015  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  USPGraphcuspgr 16377  USGraphcusgr 16378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-uspgren 16379  df-usgren 16380

This theorem is referenced by: (None)