Theorem usgrislfuspgrdom 16044

Description: A simple graph is a loop-free simple pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrislfuspgr.v	|- V = (Vtx ` G )
usgrislfuspgr.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgrislfuspgrdom	|- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem usgrislfuspgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruspgr 16037	. . 3 |- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )
2		usgrislfuspgr.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
3		usgrislfuspgr.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
4	2, 3	usgrfen 16014	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
5		f1f 5542	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
6		ensym 6955	. . . . . . . . 9 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~~ x )
7		endom 6936	. . . . . . . . 9 |- ( 2o ~~ x -> 2o ~<_ x )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x )
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P V -> ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x ) )
10	9	ss2rabi 3309	. . . . . 6 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
12	5, 11	fssd 5495	. . . 4 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( G e. USGraph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
14	1, 13	jca 306	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
15	2, 3	uspgrfen 16013	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
16		df-f1 5331	. . . . . 6 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ Fun `' I ) )
17		fin 5523	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
18		umgrislfupgrenlem 15984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o }
19		feq3 5467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
21	17, 20	sylbb1 137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) /\ Fun `' I ) -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ Fun `' I ) )
23		df-f1 5331	. . . . . . . . 9 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ Fun `' I ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) /\ Fun `' I ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
25	24	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( Fun `' I -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
26	25	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ Fun `' I ) -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
27	16, 26	sylbi 121	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
28	27	imp 124	. . . 4 |- ( ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
29	15, 28	sylan 283	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
30	2, 3	isusgren 16012	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USGraph <-> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
31	30	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( G e. USGraph <-> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
32	29, 31	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> G e. USGraph )
33	14, 32	impbii 126	1 |- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   i^i cin 3199   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   -->wf 5322   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   1oc1o 6575   2oc2o 6576   ~~ cen 6907   ~<_ cdom 6908  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  USPGraphcuspgr 16007  USGraphcusgr 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-uspgren 16009  df-usgren 16010

This theorem is referenced by: (None)