Theorem usgrislfuspgrdom 15988

Description: A simple graph is a loop-free simple pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrislfuspgr.v	|- V = (Vtx ` G )
usgrislfuspgr.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgrislfuspgrdom	|- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem usgrislfuspgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruspgr 15981	. . 3 |- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )
2		usgrislfuspgr.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
3		usgrislfuspgr.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
4	2, 3	usgrfen 15958	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
5		f1f 5531	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
6		ensym 6933	. . . . . . . . 9 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~~ x )
7		endom 6914	. . . . . . . . 9 |- ( 2o ~~ x -> 2o ~<_ x )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x )
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P V -> ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x ) )
10	9	ss2rabi 3306	. . . . . 6 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
12	5, 11	fssd 5486	. . . 4 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( G e. USGraph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
14	1, 13	jca 306	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
15	2, 3	uspgrfen 15957	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
16		df-f1 5323	. . . . . 6 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ Fun `' I ) )
17		fin 5512	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
18		umgrislfupgrenlem 15928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o }
19		feq3 5458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
21	17, 20	sylbb1 137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) /\ Fun `' I ) -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ Fun `' I ) )
23		df-f1 5323	. . . . . . . . 9 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ Fun `' I ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) /\ Fun `' I ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
25	24	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( Fun `' I -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
26	25	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ Fun `' I ) -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
27	16, 26	sylbi 121	. . . . 5 |- ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> ( I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
28	27	imp 124	. . . 4 |- ( ( I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
29	15, 28	sylan 283	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
30	2, 3	isusgren 15956	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> ( G e. USGraph <-> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
31	30	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( G e. USGraph <-> I : dom I -1-1-> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
32	29, 31	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> G e. USGraph )
33	14, 32	impbii 126	1 |- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   Fun wfun 5312   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315   ` cfv 5318   1oc1o 6555   2oc2o 6556   ~~ cen 6885   ~<_ cdom 6886  Vtxcvtx 15813  iEdgciedg 15814  USPGraphcuspgr 15951  USGraphcusgr 15952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-uspgren 15953  df-usgren 15954

This theorem is referenced by: (None)