Theorem wexmiddifxylem 17045

Description: Lemma for wexmiddifxylem 17045. Showing weak excluded middle given a suitable finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wexmiddifxylem	|- ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) e. Fin -> DECID -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem wexmiddifxylem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin0or 7190	. . . 4 |- ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) e. Fin -> ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) = (/) \/ E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) ) )
2		notm0 3542	. . . . . 6 |- ( -. E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) <-> ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) = (/) )
3		1oex 6695	. . . . . . . . 9 |- 1o e. _V
4	3	snm 3833	. . . . . . . 8 |- E. j j e. { 1o }
5		0ex 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
6	5	snm 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. w w e. { (/) }
7		df1o2 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o = { (/) }
8	7	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. 1o <-> w e. { (/) } )
9	8	exbii 1658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w w e. 1o <-> E. w w e. { (/) } )
10	6, 9	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. w w e. 1o
11		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w w e. 1o -> ( -. ph <-> A. x e. 1o -. ph ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ph <-> A. x e. 1o -. ph )
13		rabeq0 3552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x e. 1o | ph } = (/) <-> A. x e. 1o -. ph )
14	12, 13	sylbb2 138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ph -> { x e. 1o | ph } = (/) )
15	14	sneqd 3722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ph -> { { x e. 1o | ph } } = { (/) } )
16	15	difeq2d 3347	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ph -> ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) = ( { 1o } \ { (/) } ) )
17		1n0 6705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o =/= (/)
18	17	nesymi 2466	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. (/) = 1o
19		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. { 1o } -> (/) = 1o )
20	18, 19	mto 672	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (/) e. { 1o }
21		difsn 3852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. (/) e. { 1o } -> ( { 1o } \ { (/) } ) = { 1o } )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 1o } \ { (/) } ) = { 1o }
23	16, 22	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ph -> ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) = { 1o } )
24	23	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph -> ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) <-> j e. { 1o } ) )
25	24	exbidv 1878	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) <-> E. j j e. { 1o } ) )
26	4, 25	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( -. ph -> E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) )
27	26	con3i 641	. . . . . 6 |- ( -. E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. -. ph )
28	2, 27	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) = (/) -> -. -. ph )
29		eldifn 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. j e. { { x e. 1o | ph } } )
30		velsn 3726	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { { x e. 1o | ph } } <-> j = { x e. 1o | ph } )
31	29, 30	sylnib 687	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. j = { x e. 1o | ph } )
32		eldifi 3351	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> j e. { 1o } )
33		elsni 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { 1o } -> j = 1o )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> j = 1o )
35	34	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> ( j = { x e. 1o | ph } <-> 1o = { x e. 1o | ph } ) )
36	31, 35	mtbid 683	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. 1o = { x e. 1o | ph } )
37	36	neqcomd 2243	. . . . . . 7 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. { x e. 1o | ph } = 1o )
38		rabid1o 17034	. . . . . . 7 |- ( { x e. 1o | ph } = 1o <-> ph )
39	37, 38	sylnib 687	. . . . . 6 |- ( j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. ph )
40	39	exlimiv 1651	. . . . 5 |- ( E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) -> -. ph )
41	28, 40	orim12i 771	. . . 4 |- ( ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) = (/) \/ E. j j e. ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) ) -> ( -. -. ph \/ -. ph ) )
42	1, 41	syl 14	. . 3 |- ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) e. Fin -> ( -. -. ph \/ -. ph ) )
43	42	orcomd 741	. 2 |- ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) e. Fin -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
44		df-dc 847	. 2 |- (DECID -. ph <-> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
45	43, 44	sylibr 134	1 |- ( ( { 1o } \ { { x e. 1o | ph } } ) e. Fin -> DECID -. ph )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3709   1oc1o 6680   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  wexmiddifxy  17046