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Theorem zesq 10732
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 9325 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2 sqval 10671 . . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
31, 2syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
43oveq1d 5934 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( ( N x. N ) / 2 ) )
5 2cnd 9057 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
6 2ap0 9077 . . . . . . 7 |- 2 # 0
76a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
81, 1, 5, 7divassapd 8847 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
94, 8eqtrd 2226 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
109adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
11 zmulcl 9373 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N x. ( N / 2 ) ) e. ZZ )
1210, 11eqeltrd 2270 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
131adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. CC )
14 sqcl 10674 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) e. CC )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
16 peano2cn 8156 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N ^ 2 ) e. CC -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
1817halfcld 9230 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. CC )
1918, 13pncand 8333 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) )
20 binom21 10726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
2113, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
22 peano2cn 8156 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
2313, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. CC )
24 sqval 10671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
26 2cn 9055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
27 mulcl 8001 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
2826, 13, 27sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
29 1cnd 8037 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
3015, 28, 29add32d 8189 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
3121, 25, 303eqtr3d 2234 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
3231oveq1d 5934 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) )
33 2cnd 9057 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
346a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 # 0 )
3523, 23, 33, 34divassapd 8847 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
3617, 28, 33, 34divdirapd 8850 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) )
3713, 33, 34divcanap3d 8816 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
3837oveq2d 5935 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
3936, 38eqtrd 2226 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
4032, 35, 393eqtr3d 2234 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
41 peano2z 9356 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
42 zmulcl 9373 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
4341, 42sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
4440, 43eqeltrrd 2271 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) e. ZZ )
45 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. ZZ )
4644, 45zsubcld 9447 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) e. ZZ )
4719, 46eqeltrrd 2271 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
4847ex 115 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4948con3d 632 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
50 zsqcl 10684 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
51 zeo2 9426 . . . . 5 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5250, 51syl 14 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
53 zeo2 9426 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5449, 52, 533imtr4d 203 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
5554imp 124 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
5612, 55impbida 596 1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693   2c2 9035   ZZcz 9320   ^cexp 10612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613
This theorem is referenced by:  nnesq  10733  sqrt2irrlem  12302
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