Theorem zesq 10573

Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zesq	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9196	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		sqval 10513	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
4	3	oveq1d 5857	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( ( N x. N ) / 2 ) )
5		2cnd 8930	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
6		2ap0 8950	. . . . . . 7 |- 2 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
8	1, 1, 5, 7	divassapd 8722	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
9	4, 8	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
10	9	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
11		zmulcl 9244	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N x. ( N / 2 ) ) e. ZZ )
12	10, 11	eqeltrd 2243	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
13	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. CC )
14		sqcl 10516	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) e. CC )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
16		peano2cn 8033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ^ 2 ) e. CC -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
18	17	halfcld 9101	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. CC )
19	18, 13	pncand 8210	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) )
20		binom21 10567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
21	13, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
22		peano2cn 8033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
23	13, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. CC )
24		sqval 10513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
26		2cn 8928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
27		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
28	26, 13, 27	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
29		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
30	15, 28, 29	add32d 8066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
31	21, 25, 30	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
32	31	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) )
33		2cnd 8930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
34	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 # 0 )
35	23, 23, 33, 34	divassapd 8722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
36	17, 28, 33, 34	divdirapd 8725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) )
37	13, 33, 34	divcanap3d 8691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
38	37	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
39	36, 38	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
40	32, 35, 39	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
41		peano2z 9227	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
42		zmulcl 9244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
43	41, 42	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
44	40, 43	eqeltrrd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) e. ZZ )
45		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. ZZ )
46	44, 45	zsubcld 9318	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) e. ZZ )
47	19, 46	eqeltrrd 2244	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
48	47	ex 114	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
49	48	con3d 621	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
50		zsqcl 10525	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
51		zeo2 9297	. . . . 5 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
52	50, 51	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
53		zeo2 9297	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
54	49, 52, 53	3imtr4d 202	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
55	54	imp 123	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
56	12, 55	impbida 586	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   2c2 8908   ZZcz 9191   ^cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  nnesq  10574  sqrt2irrlem  12093