Theorem zesq 11096

Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zesq	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9649	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		sqval 11034	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
4	3	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( ( N x. N ) / 2 ) )
5		2cnd 9377	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
6		2ap0 9397	. . . . . . 7 |- 2 # 0
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
8	1, 1, 5, 7	divassapd 9156	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
9	4, 8	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
11		zmulcl 9698	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N x. ( N / 2 ) ) e. ZZ )
12	10, 11	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
13	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. CC )
14		sqcl 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) e. CC )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
16		peano2cn 8461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ^ 2 ) e. CC -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
18	17	halfcld 9550	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. CC )
19	18, 13	pncand 8638	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) )
20		binom21 11089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
21	13, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
22		peano2cn 8461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
23	13, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. CC )
24		sqval 11034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
26		2cn 9375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
27		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
28	26, 13, 27	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
29		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
30	15, 28, 29	add32d 8494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
31	21, 25, 30	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
32	31	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) )
33		2cnd 9377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
34	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 # 0 )
35	23, 23, 33, 34	divassapd 9156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
36	17, 28, 33, 34	divdirapd 9159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) )
37	13, 33, 34	divcanap3d 9125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
38	37	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
39	36, 38	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
40	32, 35, 39	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
41		peano2z 9680	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
42		zmulcl 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
43	41, 42	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
44	40, 43	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) e. ZZ )
45		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. ZZ )
46	44, 45	zsubcld 9773	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) e. ZZ )
47	19, 46	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
48	47	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
49	48	con3d 640	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
50		zsqcl 11047	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
51		zeo2 9752	. . . . 5 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
52	50, 51	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
53		zeo2 9752	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
54	49, 52, 53	3imtr4d 203	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
55	54	imp 124	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
56	12, 55	impbida 604	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002   2c2 9355   ZZcz 9644   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  nnesq  11097  sqrt2irrlem  12939