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Theorem zesq 10297
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 8957 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 sqval 10238 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
31, 2syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
43oveq1d 5741 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( N  x.  N )  / 
2 ) )
5 2cnd 8697 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
6 2ap0 8717 . . . . . . 7  |-  2 #  0
76a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
81, 1, 5, 7divassapd 8493 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  N
)  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
94, 8eqtrd 2145 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
109adantr 272 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2 ) ) )
11 zmulcl 9005 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( N  /  2
) )  e.  ZZ )
1210, 11eqeltrd 2189 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ )
131adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
14 sqcl 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N ^
2 )  e.  CC )
16 peano2cn 7814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1817halfcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  CC )
1918, 13pncand 7991 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 ) )
20 binom21 10291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
2113, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
22 peano2cn 7814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
2313, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  + 
1 )  e.  CC )
24 sqval 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
26 2cn 8695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
27 mulcl 7665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
2826, 13, 27sylancr 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
29 1cnd 7700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3015, 28, 29add32d 7847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3121, 25, 303eqtr3d 2153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3231oveq1d 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 ) )
33 2cnd 8697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
346a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2 #  0 )
3523, 23, 33, 34divassapd 8493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3617, 28, 33, 34divdirapd 8496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  2 ) ) )
3713, 33, 34divcanap3d 8462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
2 )  =  N )
3837oveq2d 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
3936, 38eqtrd 2145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4032, 35, 393eqtr3d 2153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
41 peano2z 8988 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
42 zmulcl 9005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4341, 42sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4440, 43eqeltrrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  e.  ZZ )
45 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4644, 45zsubcld 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
4719, 46eqeltrrd 2190 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
4847ex 114 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4948con3d 603 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
50 zsqcl 10250 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
51 zeo2 9055 . . . . 5  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5250, 51syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
53 zeo2 9055 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5449, 52, 533imtr4d 202 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
5554imp 123 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ )
5612, 55impbida 568 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   CCcc 7539   0cc0 7541   1c1 7542    + caddc 7544    x. cmul 7546    - cmin 7850   # cap 8255    / cdiv 8339   2c2 8675   ZZcz 8952   ^cexp 10179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-seqfrec 10106  df-exp 10180
This theorem is referenced by:  nnesq  10298  sqrt2irrlem  11679
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