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Theorem zesq 10910
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 9474 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2 sqval 10849 . . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
31, 2syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
43oveq1d 6028 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( ( N x. N ) / 2 ) )
5 2cnd 9206 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
6 2ap0 9226 . . . . . . 7 |- 2 # 0
76a1i 9 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
81, 1, 5, 7divassapd 8996 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
94, 8eqtrd 2262 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
109adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( N x. ( N / 2 ) ) )
11 zmulcl 9523 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( N x. ( N / 2 ) ) e. ZZ )
1210, 11eqeltrd 2306 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
131adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. CC )
14 sqcl 10852 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. CC -> ( N ^ 2 ) e. CC )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N ^ 2 ) e. CC )
16 peano2cn 8304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N ^ 2 ) e. CC -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
1817halfcld 9379 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. CC )
1918, 13pncand 8481 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) )
20 binom21 10904 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
2113, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) )
22 peano2cn 8304 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
2313, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. CC )
24 sqval 10849 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) ^ 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
26 2cn 9204 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
27 mulcl 8149 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
2826, 13, 27sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
29 1cnd 8185 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
3015, 28, 29add32d 8337 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + ( 2 x. N ) ) + 1 ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
3121, 25, 303eqtr3d 2270 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) )
3231oveq1d 6028 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) )
33 2cnd 9206 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
346a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 # 0 )
3523, 23, 33, 34divassapd 8996 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
3617, 28, 33, 34divdirapd 8999 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) )
3713, 33, 34divcanap3d 8965 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
3837oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
3936, 38eqtrd 2262 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) + ( 2 x. N ) ) / 2 ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
4032, 35, 393eqtr3d 2270 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) )
41 peano2z 9505 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
42 zmulcl 9523 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
4341, 42sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
4440, 43eqeltrrd 2307 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) e. ZZ )
45 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> N e. ZZ )
4644, 45zsubcld 9597 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) + N ) - N ) e. ZZ )
4719, 46eqeltrrd 2307 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
4847ex 115 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4948con3d 634 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
50 zsqcl 10862 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
51 zeo2 9576 . . . . 5 |- ( ( N ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5250, 51syl 14 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N ^ 2 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
53 zeo2 9576 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5449, 52, 533imtr4d 203 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
5554imp 124 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
5612, 55impbida 598 1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   - cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842   2c2 9184   ZZcz 9469   ^cexp 10790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-exp 10791
This theorem is referenced by:  nnesq  10911  sqrt2irrlem  12723
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