Theorem zeo3 12635

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	|- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9682	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zeo 9751	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		zeo2 9752	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
6		zcn 9649	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 8342	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	npcand 8641	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
10	9	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
11		2z 9672	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
12		2ne0 9396	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
13		dvdsval2 12557	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1368	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
15	10, 14	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> 2 || N ) )
16	15	notbid 677	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
17	5, 16	bitrd 188	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
18	17, 15	orbi12d 805	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) <-> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) ) )
19	3, 18	mpbid 147	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) )
20	19	orcomd 741	1 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   / cdiv 9002   2c2 9355   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-dvds 12555

This theorem is used by:  zeoxor  12636  zeo5  12655  m1exp1  12668  flodddiv4  12703  2lgslem1c  16209