Theorem zeo3 11875

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	|- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9293	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zeo 9360	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		zeo2 9361	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
6		zcn 9260	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 7975	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	npcand 8274	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	oveq1d 5892	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
10	9	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
11		2z 9283	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
12		2ne0 9013	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
13		dvdsval2 11799	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1327	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
15	10, 14	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> 2 || N ) )
16	15	notbid 667	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
17	5, 16	bitrd 188	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
18	17, 15	orbi12d 793	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) <-> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) ) )
19	3, 18	mpbid 147	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) )
20	19	orcomd 729	1 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   - cmin 8130   / cdiv 8631   2c2 8972   ZZcz 9255   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  zeoxor  11876  zeo5  11895  m1exp1  11908  flodddiv4  11941