ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo3 Unicode version

Theorem zeo3 11360
Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
zeo3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  \/  -.  2  ||  N ) )

Proof of Theorem zeo3
StepHypRef Expression
1 peano2zm 8944 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 zeo 9008 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
4 zeo2 9009 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
51, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
6 zcn 8911 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 7654 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
86, 7npcand 7948 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
98oveq1d 5721 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
109eleq1d 2168 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 2z 8934 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
12 2ne0 8670 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
13 dvdsval2 11291 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  N  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
1411, 12, 13mp3an12 1273 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
1510, 14bitr4d 190 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  2  ||  N ) )
1615notbid 633 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  2  ||  N ) )
175, 16bitrd 187 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  2  ||  N ) )
1817, 15orbi12d 748 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ )  <-> 
( -.  2  ||  N  \/  2  ||  N ) ) )
193, 18mpbid 146 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  \/  2  ||  N ) )
2019orcomd 689 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  \/  -.  2  ||  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 670    e. wcel 1448    =/= wne 2267   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   0cc0 7500   1c1 7501    + caddc 7503    - cmin 7804    / cdiv 8293   2c2 8629   ZZcz 8906    || cdvds 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-dvds 11289
This theorem is referenced by:  zeoxor  11361  zeo5  11380  m1exp1  11393  flodddiv4  11426
  Copyright terms: Public domain W3C validator