Theorem zeo3 11790

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	|- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9220	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zeo 9287	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		zeo2 9288	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
6		zcn 9187	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 7906	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	npcand 8204	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	oveq1d 5851	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
10	9	eleq1d 2233	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
11		2z 9210	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
12		2ne0 8940	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
13		dvdsval2 11716	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1316	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
15	10, 14	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> 2 || N ) )
16	15	notbid 657	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
17	5, 16	bitrd 187	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
18	17, 15	orbi12d 783	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) <-> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) ) )
19	3, 18	mpbid 146	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) )
20	19	orcomd 719	1 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 2135   =/= wne 2334   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   - cmin 8060   / cdiv 8559   2c2 8899   ZZcz 9182   || cdvds 11713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106  df-z 9183  df-dvds 11714

This theorem is referenced by:  zeoxor  11791  zeo5  11810  m1exp1  11823  flodddiv4  11856