ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo2 GIF version

Theorem zeo2 8842
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zeo2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo2
StepHypRef Expression
1 zcn 8745 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 peano2cn 7607 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4 2cnd 8485 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
5 2ap0 8505 . . . . . 6 2 # 0
65a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
73, 4, 6divcanap2d 8249 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
81, 4, 6divcanap2d 8249 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
98oveq1d 5659 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
107, 9eqtr4d 2123 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
11 zneo 8837 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1211expcom 114 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1312necon2bd 2313 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1410, 13syl5com 29 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
15 zeo 8841 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1615orcomd 683 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
1716ord 678 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
1814, 17impbid 127 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644  cc 7338  0cc0 7340  1c1 7341   + caddc 7343   · cmul 7345   # cap 8048   / cdiv 8129  2c2 8463  cz 8740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-n0 8664  df-z 8741
This theorem is referenced by:  zesq  10060  zeo3  11133
  Copyright terms: Public domain W3C validator