Theorem znnsub 9701

Description: The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 9346.) (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnsub	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )

Proof of Theorem znnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9653	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 9653	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		posdif 8785	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N <-> 0 < ( N - M ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> 0 < ( N - M ) ) )
5		zsubcl 9690	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
6	5	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
7	6	biantrurd 305	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < ( N - M ) <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 < ( N - M ) ) ) )
8	4, 7	bitrd 188	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 < ( N - M ) ) ) )
9		elnnz 9659	. 2 |- ( ( N - M ) e. NN <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 < ( N - M ) ) )
10	8, 9	bitr4di 198	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   < clt 8361   - cmin 8499   NNcn 9307   ZZcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  zltp1le  9704  uz2m1nn  10015  fzonnsub  10589  elfzodifsumelfzo  10630  ubmelm1fzo  10655  exbtwnzlemex  10695  rebtwn2z  10700  modfzo0difsn  10847  ltexp2a  11043  bcp1nk  11216  pc2dvds  13132  dvdsprmpweqle  13139