Theorem znnsub 9646

Description: The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 9293.) (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnsub	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )

Proof of Theorem znnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9598	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 9598	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		posdif 8746	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N <-> 0 < ( N - M ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> 0 < ( N - M ) ) )
5		zsubcl 9635	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
6	5	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
7	6	biantrurd 305	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < ( N - M ) <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 < ( N - M ) ) ) )
8	4, 7	bitrd 188	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 < ( N - M ) ) ) )
9		elnnz 9604	. 2 |- ( ( N - M ) e. NN <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 < ( N - M ) ) )
10	8, 9	bitr4di 198	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324   - cmin 8460   NNcn 9254   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  zltp1le  9649  uz2m1nn  9955  fzonnsub  10527  elfzodifsumelfzo  10568  ubmelm1fzo  10593  exbtwnzlemex  10633  rebtwn2z  10638  modfzo0difsn  10781  ltexp2a  10977  bcp1nk  11149  pc2dvds  13053  dvdsprmpweqle  13060