Theorem znnsub 9242

Description: The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 8896.) (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))

Proof of Theorem znnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9195	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 9195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		posdif 8353	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
5		zsubcl 9232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	biantrurd 303	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁 − 𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀))))
8	4, 7	bitrd 187	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀))))
9		elnnz 9201	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
10	8, 9	bitr4di 197	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   − cmin 8069  ℕcn 8857  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  zltp1le  9245  uz2m1nn  9543  fzonnsub  10104  elfzodifsumelfzo  10136  ubmelm1fzo  10161  exbtwnzlemex  10185  rebtwn2z  10190  modfzo0difsn  10330  ltexp2a  10507  bcp1nk  10675  pc2dvds  12261  dvdsprmpweqle  12268