Theorem zringmpg 14240

Description: The multiplicative group of the ring of integers is the restriction of the multiplicative group of the complex numbers to the integers. (Contributed by AV, 15-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringmpg	|- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )

Proof of Theorem zringmpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14204	. 2 |- ℂfld e. Ring
2		zex 9354	. 2 |- ZZ e. _V
3		df-zring 14225	. . 3 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
4		eqid 2196	. . 3 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
5	3, 4	mgpress 13565	. 2 |- ( (ℂfld e. Ring /\ ZZ e. _V ) -> ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring ) )
6	1, 2, 5	mp2an 426	1 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ZZcz 9345   ↾_s cress 12706  mulGrpcmgp 13554   Ringcrg 13630  ℂ_fldccnfld 14190  ℤ_ringczring 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-rp 9748  df-fz 10103  df-cj 11026  df-abs 11183  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-starv 12797  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-unif 12805  df-0g 12962  df-topgen 12964  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-cmn 13494  df-mgp 13555  df-ring 13632  df-cring 13633  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-fg 14183  df-metu 14184  df-cnfld 14191  df-zring 14225

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15400