Theorem expghmap 14106

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	|- M = (mulGrp ` ℂfld )
expghmap.u	|- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
expghmap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Distinct variable group:   x, A, z

Allowed substitution hints:   U( x, z)   M( x, z)

Proof of Theorem expghmap

Dummy variables r s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzaplem 10637	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
2	1	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
3	2	fmpttd 5714	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } )
4		expaddzap 10657	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
5		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) = ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) )
6		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( x = ( u + v ) -> ( A ^ x ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
7		zaddcl 9360	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( u + v ) e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( u + v ) e. ZZ )
9		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A e. CC )
10		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A # 0 )
11	9, 10, 8	expclzapd 10752	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) e. CC )
12	5, 6, 8, 11	fvmptd3 5652	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
13		oveq2 5927	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( A ^ x ) = ( A ^ u ) )
14		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
15	9, 10, 14	expclzapd 10752	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ u ) e. CC )
16	5, 13, 14, 15	fvmptd3 5652	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
17		oveq2 5927	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( A ^ x ) = ( A ^ v ) )
18		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
19	9, 10, 18	expclzapd 10752	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ v ) e. CC )
20	5, 17, 18, 19	fvmptd3 5652	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
21	16, 20	oveq12d 5937	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
22	4, 12, 21	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
23	22	ralrimivva 2576	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
24		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> u e. ZZ )
25	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ u ) e. CC )
26	5, 13, 24, 25	fvmptd3 5652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
27	26, 25	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> v e. ZZ )
29	19	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ v ) e. CC )
30	5, 17, 28, 29	fvmptd3 5652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
31	30, 29	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC )
32	27, 31	mulcld 8042	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC )
33		oveq1 5926	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) -> ( r x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) )
34		oveq2 5927	. . . . . . . 8 |- ( s = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
35		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) )
36	33, 34, 35	ovmpog 6054	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC /\ ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
37	27, 31, 32, 36	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
38	37	eqeq2d 2205	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
39	38	ralbidva 2490	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) -> ( A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
40	39	ralbidva 2490	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
41	23, 40	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
42		zringgrp 14094	. . . 4 |- ℤring e. Grp
43		cnring 14069	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
44		cnfldui 14088	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )
45		expghmap.u	. . . . . . 7 |- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )
46		expghm.m	. . . . . . . 8 |- M = (mulGrp ` ℂfld )
47	46	oveq1i 5929	. . . . . . 7 |- ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
48	45, 47	eqtri 2214	. . . . . 6 |- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
49	44, 48	unitgrp 13615	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> U e. Grp )
50	43, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- U e. Grp
51	42, 50	pm3.2i 272	. . 3 |- (ℤring e. Grp /\ U e. Grp )
52		zringbas 14095	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
53	45	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
54		cnfldbas 14059	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
55	46, 54	mgpbasg 13425	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> CC = ( Base ` M ) )
56	43, 55	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> CC = ( Base ` M ) )
57	46	mgpex 13424	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> M e. _V )
58	43, 57	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> M e. _V )
59		apsscn 8668	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
60	59	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } C_ CC )
61	53, 56, 58, 60	ressbas2d 12689	. . . . 5 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U ) )
62	61	mptru 1373	. . . 4 |- { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U )
63		zringplusg 14096	. . . 4 |- + = ( +g ` ℤring )
64		mpocnfldmul 14062	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( .r ` ℂfld )
65	46, 64	mgpplusgg 13423	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
66	43, 65	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
67		cnex 7998	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
68	67	rabex 4174	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } e. _V
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } e. _V )
70	53, 66, 69, 58	ressplusgd 12749	. . . . 5 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U ) )
71	70	mptru 1373	. . . 4 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U )
72	52, 62, 63, 71	isghm 13316	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( (ℤring e. Grp /\ U e. Grp ) /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) ) )
73	51, 72	mpbiran 942	. 2 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
74	3, 41, 73	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   CCcc 7872   0cc0 7874   + caddc 7877   x. cmul 7879   # cap 8602   ZZcz 9320   ^cexp 10612   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075   GrpHom cghm 13313  mulGrpcmgp 13419   Ringcrg 13495  ℂ_fldccnfld 14055  ℤ_ringczring 14089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-rp 9723  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-abs 11146  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-0g 12872  df-topgen 12874  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-subg 13243  df-ghm 13314  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-cring 13498  df-oppr 13567  df-dvdsr 13588  df-unit 13589  df-subrg 13718  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-zring 14090

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15230