Theorem expghmap 14413

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	|- M = (mulGrp ` ℂfld )
expghmap.u	|- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
expghmap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Distinct variable group:   x, A, z

Allowed substitution hints:   U( x, z)   M( x, z)

Proof of Theorem expghmap

Dummy variables r s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzaplem 10715	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
2	1	3expa 1206	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
3	2	fmpttd 5742	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } )
4		expaddzap 10735	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
5		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) = ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) )
6		oveq2 5959	. . . . . 6 |- ( x = ( u + v ) -> ( A ^ x ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
7		zaddcl 9419	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( u + v ) e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( u + v ) e. ZZ )
9		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A e. CC )
10		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A # 0 )
11	9, 10, 8	expclzapd 10830	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) e. CC )
12	5, 6, 8, 11	fvmptd3 5680	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
13		oveq2 5959	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( A ^ x ) = ( A ^ u ) )
14		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
15	9, 10, 14	expclzapd 10830	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ u ) e. CC )
16	5, 13, 14, 15	fvmptd3 5680	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
17		oveq2 5959	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( A ^ x ) = ( A ^ v ) )
18		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
19	9, 10, 18	expclzapd 10830	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ v ) e. CC )
20	5, 17, 18, 19	fvmptd3 5680	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
21	16, 20	oveq12d 5969	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
22	4, 12, 21	3eqtr4d 2249	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
23	22	ralrimivva 2589	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
24		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> u e. ZZ )
25	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ u ) e. CC )
26	5, 13, 24, 25	fvmptd3 5680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
27	26, 25	eqeltrd 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> v e. ZZ )
29	19	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ v ) e. CC )
30	5, 17, 28, 29	fvmptd3 5680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
31	30, 29	eqeltrd 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC )
32	27, 31	mulcld 8100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC )
33		oveq1 5958	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) -> ( r x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) )
34		oveq2 5959	. . . . . . . 8 |- ( s = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
35		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) )
36	33, 34, 35	ovmpog 6087	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC /\ ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
37	27, 31, 32, 36	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
38	37	eqeq2d 2218	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
39	38	ralbidva 2503	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) -> ( A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
40	39	ralbidva 2503	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
41	23, 40	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
42		zringgrp 14401	. . . 4 |- ℤring e. Grp
43		cnring 14376	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
44		cnfldui 14395	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )
45		expghmap.u	. . . . . . 7 |- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )
46		expghm.m	. . . . . . . 8 |- M = (mulGrp ` ℂfld )
47	46	oveq1i 5961	. . . . . . 7 |- ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
48	45, 47	eqtri 2227	. . . . . 6 |- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
49	44, 48	unitgrp 13922	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> U e. Grp )
50	43, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- U e. Grp
51	42, 50	pm3.2i 272	. . 3 |- (ℤring e. Grp /\ U e. Grp )
52		zringbas 14402	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
53	45	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
54		cnfldbas 14366	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
55	46, 54	mgpbasg 13732	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> CC = ( Base ` M ) )
56	43, 55	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> CC = ( Base ` M ) )
57	46	mgpex 13731	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> M e. _V )
58	43, 57	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> M e. _V )
59		apsscn 8727	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
60	59	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } C_ CC )
61	53, 56, 58, 60	ressbas2d 12944	. . . . 5 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U ) )
62	61	mptru 1382	. . . 4 |- { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U )
63		zringplusg 14403	. . . 4 |- + = ( +g ` ℤring )
64		mpocnfldmul 14369	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( .r ` ℂfld )
65	46, 64	mgpplusgg 13730	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
66	43, 65	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
67		cnex 8056	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
68	67	rabex 4192	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } e. _V
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } e. _V )
70	53, 66, 69, 58	ressplusgd 13005	. . . . 5 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U ) )
71	70	mptru 1382	. . . 4 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U )
72	52, 62, 63, 71	isghm 13623	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( (ℤring e. Grp /\ U e. Grp ) /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) ) )
73	51, 72	mpbiran 943	. 2 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
74	3, 41, 73	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2177   A.wral 2485   {crab 2489   _Vcvv 2773   C_ wss 3167   class class class wbr 4047   |-> cmpt 4109   -->wf 5272   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   e. cmpo 5953   CCcc 7930   0cc0 7932   + caddc 7935   x. cmul 7937   # cap 8661   ZZcz 9379   ^cexp 10690   Basecbs 12876   ↾_s cress 12877   +g cplusg 12953   Grpcgrp 13376   GrpHom cghm 13620  mulGrpcmgp 13726   Ringcrg 13802  ℂ_fldccnfld 14362  ℤ_ringczring 14396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-rp 9783  df-fz 10138  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-abs 11354  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-subg 13550  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-srg 13770  df-ring 13804  df-cring 13805  df-oppr 13874  df-dvdsr 13895  df-unit 13896  df-subrg 14025  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15594