Theorem expghmap 15050

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	|- M = (mulGrp ` ℂfld )
expghmap.u	|- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
expghmap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Distinct variable group:   x, A, z

Allowed substitution hints:   U( x, z)   M( x, z)

Proof of Theorem expghmap

Dummy variables r s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzaplem 11020	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
2	1	3expa 1234	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
3	2	fmpttd 5866	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } )
4		expaddzap 11040	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
5		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) = ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) )
6		oveq2 6096	. . . . . 6 |- ( x = ( u + v ) -> ( A ^ x ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
7		zaddcl 9693	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( u + v ) e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( u + v ) e. ZZ )
9		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A e. CC )
10		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A # 0 )
11	9, 10, 8	expclzapd 11136	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) e. CC )
12	5, 6, 8, 11	fvmptd3 5802	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
13		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( A ^ x ) = ( A ^ u ) )
14		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
15	9, 10, 14	expclzapd 11136	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ u ) e. CC )
16	5, 13, 14, 15	fvmptd3 5802	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
17		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( A ^ x ) = ( A ^ v ) )
18		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
19	9, 10, 18	expclzapd 11136	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ v ) e. CC )
20	5, 17, 18, 19	fvmptd3 5802	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
21	16, 20	oveq12d 6106	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
22	4, 12, 21	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
23	22	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
24		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> u e. ZZ )
25	15	anassrs 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ u ) e. CC )
26	5, 13, 24, 25	fvmptd3 5802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
27	26, 25	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> v e. ZZ )
29	19	anassrs 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ v ) e. CC )
30	5, 17, 28, 29	fvmptd3 5802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
31	30, 29	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC )
32	27, 31	mulcld 8352	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC )
33		oveq1 6095	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) -> ( r x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) )
34		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( s = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
35		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) )
36	33, 34, 35	ovmpog 6226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC /\ ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
37	27, 31, 32, 36	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
38	37	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
39	38	ralbidva 2546	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) -> ( A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
40	39	ralbidva 2546	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
41	23, 40	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
42		zringgrp 15038	. . . 4 |- ℤring e. Grp
43		cnring 15015	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
44		cnfldui 15032	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )
45		expghmap.u	. . . . . . 7 |- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )
46		expghm.m	. . . . . . . 8 |- M = (mulGrp ` ℂfld )
47	46	oveq1i 6098	. . . . . . 7 |- ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
48	45, 47	eqtri 2259	. . . . . 6 |- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
49	44, 48	unitgrp 14531	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> U e. Grp )
50	43, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- U e. Grp
51	42, 50	pm3.2i 272	. . 3 |- (ℤring e. Grp /\ U e. Grp )
52		zringbas 15039	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
53	45	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
54		cnfldbas 15005	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
55	46, 54	mgpbasg 14330	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> CC = ( Base ` M ) )
56	43, 55	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> CC = ( Base ` M ) )
57	46	mgpex 14329	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> M e. _V )
58	43, 57	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> M e. _V )
59		apsscn 8983	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
60	59	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } C_ CC )
61	53, 56, 58, 60	ressbas2d 13480	. . . . 5 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U ) )
62	61	mptru 1411	. . . 4 |- { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U )
63		zringplusg 15040	. . . 4 |- + = ( +g ` ℤring )
64		mpocnfldmul 15008	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( .r ` ℂfld )
65	46, 64	mgpplusgg 14327	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
66	43, 65	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
67		cnex 8309	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
68	67	rabex 4282	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } e. _V
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } e. _V )
70	53, 66, 69, 58	ressplusgd 13541	. . . . 5 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U ) )
71	70	mptru 1411	. . . 4 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U )
72	52, 62, 63, 71	isghm 14104	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( (ℤring e. Grp /\ U e. Grp ) /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) ) )
73	51, 72	mpbiran 953	. 2 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
74	3, 41, 73	sylanbrc 421	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   CCcc 8183   0cc0 8185   + caddc 8188   x. cmul 8190   # cap 8917   ZZcz 9653   ^cexp 10995   Basecbs 13409   ↾_s cress 13410   +g cplusg 13489   Grpcgrp 13863   GrpHom cghm 14101  mulGrpcmgp 14323   Ringcrg 14406  ℂ_fldccnfld 15001  ℤ_ringczring 15033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-recs 6581  df-frec 6667  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-starv 13504  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-unif 13512  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-subg 14031  df-ghm 14102  df-cmn 14178  df-abl 14179  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-srg 14374  df-ring 14408  df-cring 14409  df-oppr 14481  df-dvdsr 14503  df-unit 14504  df-subrg 14635  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-fg 14994  df-metu 14995  df-cnfld 15002  df-zring 15034

This theorem is used by:  lgseisenlem4  16414