Theorem expghmap 14163

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	|- M = (mulGrp ` ℂfld )
expghmap.u	|- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )

Assertion

Ref	Expression
expghmap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Distinct variable group:   x, A, z

Allowed substitution hints:   U( x, z)   M( x, z)

Proof of Theorem expghmap

Dummy variables r s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzaplem 10655	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
2	1	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ x e. ZZ ) -> ( A ^ x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
3	2	fmpttd 5717	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } )
4		expaddzap 10675	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
5		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) = ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) )
6		oveq2 5930	. . . . . 6 |- ( x = ( u + v ) -> ( A ^ x ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
7		zaddcl 9366	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( u + v ) e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( u + v ) e. ZZ )
9		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A e. CC )
10		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> A # 0 )
11	9, 10, 8	expclzapd 10770	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( u + v ) ) e. CC )
12	5, 6, 8, 11	fvmptd3 5655	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( A ^ ( u + v ) ) )
13		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( A ^ x ) = ( A ^ u ) )
14		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
15	9, 10, 14	expclzapd 10770	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ u ) e. CC )
16	5, 13, 14, 15	fvmptd3 5655	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
17		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( A ^ x ) = ( A ^ v ) )
18		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
19	9, 10, 18	expclzapd 10770	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( A ^ v ) e. CC )
20	5, 17, 18, 19	fvmptd3 5655	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
21	16, 20	oveq12d 5940	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( A ^ u ) x. ( A ^ v ) ) )
22	4, 12, 21	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
23	22	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
24		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> u e. ZZ )
25	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ u ) e. CC )
26	5, 13, 24, 25	fvmptd3 5655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) = ( A ^ u ) )
27	26, 25	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> v e. ZZ )
29	19	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( A ^ v ) e. CC )
30	5, 17, 28, 29	fvmptd3 5655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) = ( A ^ v ) )
31	30, 29	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC )
32	27, 31	mulcld 8047	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC )
33		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) -> ( r x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) )
34		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( s = ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. s ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
35		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) )
36	33, 34, 35	ovmpog 6057	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) e. CC /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) e. CC /\ ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) e. CC ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
37	27, 31, 32, 36	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
38	37	eqeq2d 2208	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) /\ v e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
39	38	ralbidva 2493	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ u e. ZZ ) -> ( A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
40	39	ralbidva 2493	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) <-> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) x. ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
41	23, 40	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) )
42		zringgrp 14151	. . . 4 |- ℤring e. Grp
43		cnring 14126	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
44		cnfldui 14145	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )
45		expghmap.u	. . . . . . 7 |- U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } )
46		expghm.m	. . . . . . . 8 |- M = (mulGrp ` ℂfld )
47	46	oveq1i 5932	. . . . . . 7 |- ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
48	45, 47	eqtri 2217	. . . . . 6 |- U = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
49	44, 48	unitgrp 13672	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> U e. Grp )
50	43, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- U e. Grp
51	42, 50	pm3.2i 272	. . 3 |- (ℤring e. Grp /\ U e. Grp )
52		zringbas 14152	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
53	45	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> U = ( M ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
54		cnfldbas 14116	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
55	46, 54	mgpbasg 13482	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> CC = ( Base ` M ) )
56	43, 55	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> CC = ( Base ` M ) )
57	46	mgpex 13481	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> M e. _V )
58	43, 57	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> M e. _V )
59		apsscn 8674	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
60	59	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } C_ CC )
61	53, 56, 58, 60	ressbas2d 12746	. . . . 5 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U ) )
62	61	mptru 1373	. . . 4 |- { z e. CC | z # 0 } = ( Base ` U )
63		zringplusg 14153	. . . 4 |- + = ( +g ` ℤring )
64		mpocnfldmul 14119	. . . . . . . 8 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( .r ` ℂfld )
65	46, 64	mgpplusgg 13480	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
66	43, 65	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` M ) )
67		cnex 8003	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
68	67	rabex 4177	. . . . . . 7 |- { z e. CC | z # 0 } e. _V
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> { z e. CC | z # 0 } e. _V )
70	53, 66, 69, 58	ressplusgd 12806	. . . . 5 |- ( T. -> ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U ) )
71	70	mptru 1373	. . . 4 |- ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) = ( +g ` U )
72	52, 62, 63, 71	isghm 13373	. . 3 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( (ℤring e. Grp /\ U e. Grp ) /\ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) ) )
73	51, 72	mpbiran 942	. 2 |- ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) <-> ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) : ZZ --> { z e. CC | z # 0 } /\ A. u e. ZZ A. v e. ZZ ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` ( u + v ) ) = ( ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` u ) ( r e. CC , s e. CC |-> ( r x. s ) ) ( ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) ` v ) ) ) )
74	3, 41, 73	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( x e. ZZ |-> ( A ^ x ) ) e. (ℤring GrpHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   CCcc 7877   0cc0 7879   + caddc 7882   x. cmul 7884   # cap 8608   ZZcz 9326   ^cexp 10630   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370  mulGrpcmgp 13476   Ringcrg 13552  ℂ_fldccnfld 14112  ℤ_ringczring 14146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-rp 9729  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-abs 11164  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-subg 13300  df-ghm 13371  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-subrg 13775  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15314