ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op2nd GIF version

Theorem op2nd 6126
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op2nd (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4213 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 424 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 2ndvalg 6122 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 5 . 2 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op2nda 5095 . 2 ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
86, 7eqtri 2191 1 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  cop 3586   cuni 3796  ran crn 4612  cfv 5198  2nd c2nd 6118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-2nd 6120
This theorem is referenced by:  op2ndd  6128  op2ndg  6130  2ndval2  6135  fo2ndresm  6141  eloprabi  6175  fo2ndf  6206  f1o2ndf1  6207  xpmapenlem  6827  genpelvu  7475  nqprl  7513  1pru  7518  addnqprlemru  7520  addnqprlemfl  7521  addnqprlemfu  7522  mulnqprlemru  7536  mulnqprlemfl  7537  mulnqprlemfu  7538  ltnqpr  7555  ltnqpri  7556  ltexprlemelu  7561  recexprlemelu  7585  cauappcvgprlemm  7607  cauappcvgprlemopu  7610  cauappcvgprlemupu  7611  cauappcvgprlemdisj  7613  cauappcvgprlemloc  7614  cauappcvgprlemladdfu  7616  cauappcvgprlemladdru  7618  cauappcvgprlemladdrl  7619  cauappcvgprlem2  7622  caucvgprlemm  7630  caucvgprlemopu  7633  caucvgprlemupu  7634  caucvgprlemdisj  7636  caucvgprlemloc  7637  caucvgprlemladdfu  7639  caucvgprlem2  7642  caucvgprprlemelu  7648  caucvgprprlemmu  7657  caucvgprprlemexbt  7668  caucvgprprlem2  7672  suplocexprlemloc  7683  fsum2dlemstep  11397  fprod2dlemstep  11585  ctiunctlemfo  12394
  Copyright terms: Public domain W3C validator