Theorem op2nd 6045

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		op1st.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opexg 4150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 422	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5		2ndvalg 6041	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
7	1, 2	op2nda 5023	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
8	6, 7	eqtri 2160	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527  ⟨cop 3530  ∪ cuni 3736  ran crn 4540  ‘cfv 5123  2^nd c2nd 6037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-2nd 6039

This theorem is referenced by:  op2ndd  6047  op2ndg  6049  2ndval2  6054  fo2ndresm  6060  eloprabi  6094  fo2ndf  6124  f1o2ndf1  6125  xpmapenlem  6743  genpelvu  7321  nqprl  7359  1pru  7364  addnqprlemru  7366  addnqprlemfl  7367  addnqprlemfu  7368  mulnqprlemru  7382  mulnqprlemfl  7383  mulnqprlemfu  7384  ltnqpr  7401  ltnqpri  7402  ltexprlemelu  7407  recexprlemelu  7431  cauappcvgprlemm  7453  cauappcvgprlemopu  7456  cauappcvgprlemupu  7457  cauappcvgprlemdisj  7459  cauappcvgprlemloc  7460  cauappcvgprlemladdfu  7462  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgprlem2  7468  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemopu  7479  caucvgprlemupu  7480  caucvgprlemdisj  7482  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlem2  7488  caucvgprprlemelu  7494  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlem2  7518  suplocexprlemloc  7529  fsum2dlemstep  11203  ctiunctlemfo  11952