ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op2nd GIF version

Theorem op2nd 5900
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op2nd (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4046 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 417 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 2ndvalg 5896 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 7 . 2 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op2nda 4902 . 2 ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
86, 7eqtri 2108 1 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  {csn 3441  cop 3444   cuni 3648  ran crn 4429  cfv 5002  2nd c2nd 5892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-2nd 5894
This theorem is referenced by:  op2ndd  5902  op2ndg  5904  2ndval2  5909  fo2ndresm  5915  eloprabi  5948  fo2ndf  5974  f1o2ndf1  5975  xpmapenlem  6545  genpelvu  7051  nqprl  7089  1pru  7094  addnqprlemru  7096  addnqprlemfl  7097  addnqprlemfu  7098  mulnqprlemru  7112  mulnqprlemfl  7113  mulnqprlemfu  7114  ltnqpr  7131  ltnqpri  7132  ltexprlemelu  7137  recexprlemelu  7161  cauappcvgprlemm  7183  cauappcvgprlemopu  7186  cauappcvgprlemupu  7187  cauappcvgprlemdisj  7189  cauappcvgprlemloc  7190  cauappcvgprlemladdfu  7192  cauappcvgprlemladdru  7194  cauappcvgprlemladdrl  7195  cauappcvgprlem2  7198  caucvgprlemm  7206  caucvgprlemopu  7209  caucvgprlemupu  7210  caucvgprlemdisj  7212  caucvgprlemloc  7213  caucvgprlemladdfu  7215  caucvgprlem2  7218  caucvgprprlemelu  7224  caucvgprprlemmu  7233  caucvgprprlemexbt  7244  caucvgprprlem2  7248  fsum2dlemstep  10791
  Copyright terms: Public domain W3C validator