Theorem op2nd 6147

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		op1st.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opexg 4228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5		2ndvalg 6143	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
7	1, 2	op2nda 5113	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
8	6, 7	eqtri 2198	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3592  ⟨cop 3595  ∪ cuni 3809  ran crn 4627  ‘cfv 5216  2^nd c2nd 6139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-2nd 6141

This theorem is referenced by:  op2ndd  6149  op2ndg  6151  2ndval2  6156  fo2ndresm  6162  eloprabi  6196  fo2ndf  6227  f1o2ndf1  6228  xpmapenlem  6848  genpelvu  7511  nqprl  7549  1pru  7554  addnqprlemru  7556  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  mulnqprlemru  7572  mulnqprlemfl  7573  mulnqprlemfu  7574  ltnqpr  7591  ltnqpri  7592  ltexprlemelu  7597  recexprlemelu  7621  cauappcvgprlemm  7643  cauappcvgprlemopu  7646  cauappcvgprlemupu  7647  cauappcvgprlemdisj  7649  cauappcvgprlemloc  7650  cauappcvgprlemladdfu  7652  cauappcvgprlemladdru  7654  cauappcvgprlemladdrl  7655  cauappcvgprlem2  7658  caucvgprlemm  7666  caucvgprlemopu  7669  caucvgprlemupu  7670  caucvgprlemdisj  7672  caucvgprlemloc  7673  caucvgprlemladdfu  7675  caucvgprlem2  7678  caucvgprprlemelu  7684  caucvgprprlemmu  7693  caucvgprprlemexbt  7704  caucvgprprlem2  7708  suplocexprlemloc  7719  fsum2dlemstep  11441  fprod2dlemstep  11629  ctiunctlemfo  12439