Theorem op2nd 6214

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		op1st.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opexg 4262	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5		2ndvalg 6210	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
7	1, 2	op2nda 5155	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
8	6, 7	eqtri 2217	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623  ⟨cop 3626  ∪ cuni 3840  ran crn 4665  ‘cfv 5259  2^nd c2nd 6206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-2nd 6208

This theorem is referenced by:  op2ndd  6216  op2ndg  6218  2ndval2  6223  fo2ndresm  6229  eloprabi  6263  fo2ndf  6294  f1o2ndf1  6295  xpmapenlem  6919  genpelvu  7597  nqprl  7635  1pru  7640  addnqprlemru  7642  addnqprlemfl  7643  addnqprlemfu  7644  mulnqprlemru  7658  mulnqprlemfl  7659  mulnqprlemfu  7660  ltnqpr  7677  ltnqpri  7678  ltexprlemelu  7683  recexprlemelu  7707  cauappcvgprlemm  7729  cauappcvgprlemopu  7732  cauappcvgprlemupu  7733  cauappcvgprlemdisj  7735  cauappcvgprlemloc  7736  cauappcvgprlemladdfu  7738  cauappcvgprlemladdru  7740  cauappcvgprlemladdrl  7741  cauappcvgprlem2  7744  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemopu  7755  caucvgprlemupu  7756  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlem2  7764  caucvgprprlemelu  7770  caucvgprprlemmu  7779  caucvgprprlemexbt  7790  caucvgprprlem2  7794  suplocexprlemloc  7805  fsum2dlemstep  11616  fprod2dlemstep  11804  ctiunctlemfo  12681