Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op2nd GIF version

Theorem op2nd 6011
 Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op2nd (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 op1st.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 opexg 4118 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
41, 2, 3mp2an 420 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5 2ndvalg 6007 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩})
64, 5ax-mp 5 . 2 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
71, 2op2nda 4991 . 2 ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
86, 7eqtri 2136 1 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  Vcvv 2658  {csn 3495  ⟨cop 3498  ∪ cuni 3704  ran crn 4508  ‘cfv 5091  2nd c2nd 6003 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-2nd 6005 This theorem is referenced by:  op2ndd  6013  op2ndg  6015  2ndval2  6020  fo2ndresm  6026  eloprabi  6060  fo2ndf  6090  f1o2ndf1  6091  xpmapenlem  6709  genpelvu  7285  nqprl  7323  1pru  7328  addnqprlemru  7330  addnqprlemfl  7331  addnqprlemfu  7332  mulnqprlemru  7346  mulnqprlemfl  7347  mulnqprlemfu  7348  ltnqpr  7365  ltnqpri  7366  ltexprlemelu  7371  recexprlemelu  7395  cauappcvgprlemm  7417  cauappcvgprlemopu  7420  cauappcvgprlemupu  7421  cauappcvgprlemdisj  7423  cauappcvgprlemloc  7424  cauappcvgprlemladdfu  7426  cauappcvgprlemladdru  7428  cauappcvgprlemladdrl  7429  cauappcvgprlem2  7432  caucvgprlemm  7440  caucvgprlemopu  7443  caucvgprlemupu  7444  caucvgprlemdisj  7446  caucvgprlemloc  7447  caucvgprlemladdfu  7449  caucvgprlem2  7452  caucvgprprlemelu  7458  caucvgprprlemmu  7467  caucvgprprlemexbt  7478  caucvgprprlem2  7482  suplocexprlemloc  7493  fsum2dlemstep  11143  ctiunctlemfo  11847
 Copyright terms: Public domain W3C validator