Theorem addn0nid 8393

Description: Adding a nonzero number to a complex number does not yield the complex number. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addn0nid	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 + 𝑌) ≠ 𝑋)

Proof of Theorem addn0nid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addid0 8392	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))
2	1	biimpd 144	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 → 𝑌 = 0))
3	2	necon3d 2408	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 ≠ 0 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 𝑋))
4	3	3impia 1202	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 + 𝑌) ≠ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872   + caddc 7875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192

This theorem is referenced by: (None)