Theorem pnpncand 8137

Description: Addition/subtraction cancellation law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
pnpncand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pnpncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
pnpncand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pnpncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem pnpncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnpncand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pnpncand.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pnpncand.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 8073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 4	addcld 7785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
6	5, 2, 3	subsub2d 8102	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) + (𝐶 − 𝐵)))
7	1, 4	pncand 8074	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
8	6, 7	eqtr3d 2174	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618   + caddc 7623   − cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935

This theorem is referenced by: (None)