Theorem blrnps 14927

Description: Membership in the range of the ball function. Note that ran (ball‘𝐷) is the collection of all balls for metric 𝐷. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blrnps	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐴 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐴   𝐷,𝑟,𝑥   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem blrnps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfps 14925	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		ffn 5431	. 2 ⊢ ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 → (ball‘𝐷) Fn (𝑋 × ℝ*))
3		ovelrn 6102	. 2 ⊢ ((ball‘𝐷) Fn (𝑋 × ℝ*) → (𝐴 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
4	1, 2, 3	3syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐴 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝐴 = (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  𝒫 cpw 3617   × cxp 4677  ran crn 4680   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℝ^*cxr 8113  PsMetcpsmet 14341  ballcbl 14344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-psmet 14349  df-bl 14352

This theorem is referenced by:  blssps  14943