Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemub GIF version

Theorem dedekindicclemub 12804
 Description: Lemma for dedekindicc 12810. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
dedekindicc.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
dedekindicc.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐵   𝐿,𝑞,𝑦   𝑥,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑟)   𝑈(𝑥)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.um . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
2 eleq1w 2201 . . . 4 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑈𝑎𝑈))
32cbvrexv 2656 . . 3 (∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑎𝑈)
41, 3sylib 121 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑎𝑈)
5 simprl 521 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6 dedekindicc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 dedekindicc.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 dedekindicc.lss . . . . 5 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1110adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12 dedekindicc.uss . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1312adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
14 dedekindicc.lm . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
1514adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
161adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
17 dedekindicc.lr . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
1817adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
19 dedekindicc.ur . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
2019adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
21 dedekindicc.disj . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
2221adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → (𝐿𝑈) = ∅)
23 dedekindicc.loc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
2423adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
25 simprr 522 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → 𝑎𝑈)
267, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25dedekindicclemuub 12803 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑎)
27 brralrspcev 3990 . . 3 ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
285, 26, 27syl2anc 409 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎𝑈)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
294, 28rexlimddv 2555 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∩ cin 3071   ⊆ wss 3072  ∅c0 3364   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  ℝcr 7639   < clt 7820  [,]cicc 9700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-icc 9704 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator