Theorem dedekindicclemub 14634

Description: Lemma for dedekindicc 14640. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐵   𝐿,𝑞,𝑦   𝑥,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑟)   𝑈(𝑥)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2250	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2723	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6		dedekindicc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dedekindicc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		dedekindicc.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
14		dedekindicc.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
16	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
17		dedekindicc.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
19		dedekindicc.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
21		dedekindicc.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
23		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
25		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
26	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25	dedekindicclemuub 14633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
27		brralrspcev 4083	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
28	5, 26, 27	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
29	4, 28	rexlimddv 2612	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ∩ cin 3147   ⊆ wss 3148  ∅c0 3441   class class class wbr 4025  (class class class)co 5904  ℝcr 7850   < clt 8033  [,]cicc 9933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-icc 9937

This theorem is referenced by: (None)