Theorem dedekindicclemub 13399

Description: Lemma for dedekindicc 13405. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐵   𝐿,𝑞,𝑦   𝑥,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑟)   𝑈(𝑥)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2231	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2697	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 526	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6		dedekindicc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dedekindicc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		dedekindicc.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
13	12	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
14		dedekindicc.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
15	14	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
16	1	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
17		dedekindicc.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
19		dedekindicc.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
20	19	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
21		dedekindicc.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
22	21	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
23		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
24	23	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
25		simprr 527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
26	7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25	dedekindicclemuub 13398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
27		brralrspcev 4047	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
28	5, 26, 27	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
29	4, 28	rexlimddv 2592	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   < clt 7954  [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852

This theorem is referenced by: (None)