Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dedekindicc.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
2 | | dedekindicc.b |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
3 | | dedekindicc.lss |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
4 | | dedekindicc.uss |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
5 | | dedekindicc.lm |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿) |
6 | | dedekindicc.um |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈) |
7 | | dedekindicc.lr |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟)) |
8 | | dedekindicc.ur |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟)) |
9 | | dedekindicc.disj |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅) |
10 | | dedekindicc.loc |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))) |
11 | | dedekindicc.ab |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | dedekindicclemicc 13052 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) |
13 | | df-reu 2442 |
. . . 4
⊢
(∃!𝑥 ∈
(𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) |
14 | 12, 13 | sylib 121 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) |
15 | | breq1 3969 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑎 < 𝑥)) |
16 | 15 | cbvralv 2680 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑞 ∈
𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥) |
17 | | breq2 3970 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑏)) |
18 | 17 | cbvralv 2680 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑟 ∈
𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏) |
19 | 16, 18 | anbi12i 456 |
. . . . . . . 8
⊢
((∀𝑞 ∈
𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)) |
20 | 19 | anbi2i 453 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) |
21 | | iccssre 9860 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
22 | 1, 2, 21 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
23 | 22 | sselda 3128 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
24 | 23 | adantrr 471 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
25 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿) |
26 | 1 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
27 | | simpll 519 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝜑) |
28 | | simprl 521 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
29 | 22 | sseld 3127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑞 ∈ ℝ)) |
30 | 27, 28, 29 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ ℝ) |
31 | 24 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
32 | 1 | rexrd 7928 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
33 | 32 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
34 | 2 | rexrd 7928 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
35 | 34 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
36 | | iccgelb 9837 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝑞
∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑞) |
37 | 33, 35, 28, 36 | syl3anc 1220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ≤ 𝑞) |
38 | | breq1 3969 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥)) |
39 | | simprrl 529 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥) |
40 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥) |
41 | | simprr 522 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ 𝐿) |
42 | 38, 40, 41 | rspcdva 2821 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 < 𝑥) |
43 | 26, 30, 31, 37, 42 | lelttrd 8001 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 < 𝑥) |
44 | 25, 43 | rexlimddv 2579 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 < 𝑥) |
45 | 6 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈) |
46 | 24 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
47 | | simpll 519 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝜑) |
48 | | simprl 521 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
49 | 22 | sseld 3127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ)) |
50 | 47, 48, 49 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℝ) |
51 | 2 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
52 | | breq2 3970 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑏 ↔ 𝑥 < 𝑟)) |
53 | | simprrr 530 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏) |
54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏) |
55 | | simprr 522 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈) |
56 | 52, 54, 55 | rspcdva 2821 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝑟) |
57 | 32 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
58 | 34 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
59 | | iccleub 9836 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝑟
∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ≤ 𝐵) |
60 | 57, 58, 48, 59 | syl3anc 1220 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ≤ 𝐵) |
61 | 46, 50, 51, 56, 60 | ltletrd 8299 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝐵) |
62 | 45, 61 | rexlimddv 2579 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 < 𝐵) |
63 | 32 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
64 | 34 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
65 | | elioo2 9826 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) |
66 | 63, 64, 65 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) |
67 | 24, 44, 62, 66 | mpbir3and 1165 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
68 | 20, 67 | sylan2b 285 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
69 | | simprr 522 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) |
70 | 68, 69 | jca 304 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) |
71 | | ioossicc 9864 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
72 | 71 | sseli 3124 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
73 | 72 | ad2antrl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
74 | | simprr 522 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) |
75 | 73, 74 | jca 304 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) |
76 | 70, 75 | impbida 586 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))) |
77 | 76 | eubidv 2014 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))) |
78 | 14, 77 | mpbid 146 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) |
79 | | df-reu 2442 |
. 2
⊢
(∃!𝑥 ∈
(𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) |
80 | 78, 79 | sylibr 133 |
1
⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) |