Theorem dedekindicc 15356

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7685 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 15355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
13		df-reu 2517	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
14	12, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
15		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑎 < 𝑥))
16	15	cbvralv 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
17		breq2 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑏))
18	17	cbvralv 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)))
21		iccssre 10189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝜑)
28		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	22	sseld 3226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑞 ∈ ℝ))
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ ℝ)
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	1	rexrd 8228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 8228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		iccgelb 10166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
38		breq1 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥))
39		simprrl 541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
41		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ 𝐿)
42	38, 40, 41	rspcdva 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 < 𝑥)
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 < 𝑥)
44	25, 43	rexlimddv 2655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 < 𝑥)
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝜑)
48		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	sseld 3226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℝ)
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑏 ↔ 𝑥 < 𝑟))
53		simprrr 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
55		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
56	52, 54, 55	rspcdva 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝑟)
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
59		iccleub 10165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝐵)
62	45, 61	rexlimddv 2655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 < 𝐵)
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65		elioo2 10155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
69		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
71		ioossicc 10193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
72	71	sseli 3223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
76	70, 75	impbida 600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
77	76	eubidv 2087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
78	14, 77	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
79		df-reu 2517	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
80	78, 79	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃!weu 2079   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ∃!wreu 2512   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213   ≤ cle 8214  (,)cioo 10122  [,]cicc 10125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151  ax-pre-suploc 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-ioo 10126  df-icc 10129  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15365