Theorem dedekindicc 13251

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7407 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 13250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
13		df-reu 2451	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
14	12, 13	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
15		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑎 < 𝑥))
16	15	cbvralv 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
17		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑏))
18	17	cbvralv 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
19	16, 18	anbi12i 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))
20	19	anbi2i 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)))
21		iccssre 9891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	1, 2, 21	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
26	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpll 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝜑)
28		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	22	sseld 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑞 ∈ ℝ))
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ ℝ)
31	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	1	rexrd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		iccgelb 9868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
38		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥))
39		simprrl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
41		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ 𝐿)
42	38, 40, 41	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 < 𝑥)
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 < 𝑥)
44	25, 43	rexlimddv 2588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 < 𝑥)
45	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
46	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		simpll 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝜑)
48		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	sseld 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℝ)
51	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52		breq2 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑏 ↔ 𝑥 < 𝑟))
53		simprrr 530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
55		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
56	52, 54, 55	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝑟)
57	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58	34	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
59		iccleub 9867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝐵)
62	45, 61	rexlimddv 2588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 < 𝐵)
63	32	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65		elioo2 9857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
66	63, 64, 65	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
68	20, 67	sylan2b 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
69		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
70	68, 69	jca 304	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
71		ioossicc 9895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
72	71	sseli 3138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ad2antrl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
75	73, 74	jca 304	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
76	70, 75	impbida 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
77	76	eubidv 2022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
78	14, 77	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
79		df-reu 2451	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
80	78, 79	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   = wceq 1343  ∃!weu 2014   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  ∃!wreu 2446   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933   ≤ cle 7934  (,)cioo 9824  [,]cicc 9827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-ioo 9828  df-icc 9831  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13260