Theorem dedekindicc 13778

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7456 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 13777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
13		df-reu 2462	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
14	12, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
15		breq1 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑎 < 𝑥))
16	15	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
17		breq2 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑏))
18	17	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)))
21		iccssre 9942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝜑)
28		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	22	sseld 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑞 ∈ ℝ))
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ ℝ)
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	1	rexrd 7997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 7997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		iccgelb 9919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
38		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥))
39		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
41		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ 𝐿)
42	38, 40, 41	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 < 𝑥)
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 < 𝑥)
44	25, 43	rexlimddv 2599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 < 𝑥)
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝜑)
48		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	sseld 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℝ)
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52		breq2 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑏 ↔ 𝑥 < 𝑟))
53		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
55		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
56	52, 54, 55	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝑟)
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
59		iccleub 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝐵)
62	45, 61	rexlimddv 2599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 < 𝐵)
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65		elioo2 9908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
69		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
71		ioossicc 9946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
72	71	sseli 3151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
76	70, 75	impbida 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
77	76	eubidv 2034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
78	14, 77	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
79		df-reu 2462	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
80	78, 79	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃!weu 2026   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ∃!wreu 2457   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  ℝ^*cxr 7981   < clt 7982   ≤ cle 7983  (,)cioo 9875  [,]cicc 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-ioo 9879  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13787