Theorem dedekindicc 14869

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7533 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 14868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
13		df-reu 2482	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
14	12, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
15		breq1 4036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑎 < 𝑥))
16	15	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
17		breq2 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑏))
18	17	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
19	16, 18	anbi12i 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))
20	19	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)))
21		iccssre 10030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22	1, 2, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝜑)
28		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	22	sseld 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑞 ∈ ℝ))
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ ℝ)
31	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	1	rexrd 8076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 8076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36		iccgelb 10007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ≤ 𝑞)
38		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑥))
39		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → ∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥)
41		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 ∈ 𝐿)
42	38, 40, 41	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝑞 < 𝑥)
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 8151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝐿)) → 𝐴 < 𝑥)
44	25, 43	rexlimddv 2619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 < 𝑥)
45	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
46	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝜑)
48		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	sseld 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℝ)
51	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52		breq2 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑟 → (𝑥 < 𝑏 ↔ 𝑥 < 𝑟))
53		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏)
55		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
56	52, 54, 55	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝑟)
57	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
59		iccleub 10006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ≤ 𝐵)
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑥 < 𝐵)
62	45, 61	rexlimddv 2619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 < 𝐵)
63	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
64	34	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65		elioo2 9996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
66	63, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑎 ∈ 𝐿 𝑎 < 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
68	20, 67	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
69		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
70	68, 69	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
71		ioossicc 10034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
72	71	sseli 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
74		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
75	73, 74	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
76	70, 75	impbida 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
77	76	eubidv 2053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))))
78	14, 77	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
79		df-reu 2482	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
80	78, 79	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃!weu 2045   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃!wreu 2477   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061   ≤ cle 8062  (,)cioo 9963  [,]cicc 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-ioo 9967  df-icc 9970  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14878