Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facnn GIF version

Theorem facnn 10480
 Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7767 . . 3 0 ∈ V
2 1ex 7768 . . 3 1 ∈ V
3 df-fac 10479 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4 nnuz 9368 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 8997 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2162 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4816 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 eqid 2139 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
9 1zzd 9088 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 fvi 5478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1110eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1211ibir 176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
13 eluzelcn 9344 . . . . . . . . . . . 12 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1514adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16 mulcl 7754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1716adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
188, 9, 15, 17seqf 10241 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ‘1)⟶ℂ)
1918ffnd 5273 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
2019mptru 1340 . . . . . . 7 seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1)
21 fnresdm 5232 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
237, 22eqtr3i 2162 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
2423uneq2i 3227 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
253, 24eqtr4i 2163 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
261, 2, 25fvsnun2 5618 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
2726, 5eleq2s 2234 1 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480   ∖ cdif 3068   ∪ cun 3069  {csn 3527  ⟨cop 3530   I cid 4210   ↾ cres 4541   Fn wfn 5118  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   · cmul 7632  ℕcn 8727  ℕ0cn0 8984  ℤ≥cuz 9333  seqcseq 10225  !cfa 10478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226  df-fac 10479 This theorem is referenced by:  fac1  10482  facp1  10483  bcval5  10516
 Copyright terms: Public domain W3C validator