ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facnn GIF version

Theorem facnn 10441
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7728 . . 3 0 ∈ V
2 1ex 7729 . . 3 1 ∈ V
3 df-fac 10440 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4 nnuz 9329 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 8958 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2140 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4786 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 eqid 2117 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
9 1zzd 9049 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 fvi 5446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1110eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1211ibir 176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
13 eluzelcn 9305 . . . . . . . . . . . 12 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1514adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16 mulcl 7715 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1716adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
188, 9, 15, 17seqf 10202 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ‘1)⟶ℂ)
1918ffnd 5243 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
2019mptru 1325 . . . . . . 7 seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1)
21 fnresdm 5202 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
237, 22eqtr3i 2140 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
2423uneq2i 3197 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
253, 24eqtr4i 2141 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
261, 2, 25fvsnun2 5586 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
2726, 5eleq2s 2212 1 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wtru 1317  wcel 1465  cdif 3038  cun 3039  {csn 3497  cop 3500   I cid 4180  cres 4511   Fn wfn 5088  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   · cmul 7593  cn 8688  0cn0 8945  cuz 9294  seqcseq 10186  !cfa 10439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187  df-fac 10440
This theorem is referenced by:  fac1  10443  facp1  10444  bcval5  10477
  Copyright terms: Public domain W3C validator