Theorem facnn 11165

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8320	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 8321	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 11164	. . . 4 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4		nnuz 9958	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 9576	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2261	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 5060	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
9		1zzd 9671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		fvi 5760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
11	10	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzelcn 9933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16		mulcl 8306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	8, 9, 15, 17	seqf 10901	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ)
19	18	ffnd 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
20	19	mptru 1411	. . . . . . 7 ⊢ seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1)
21		fnresdm 5492	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
23	7, 22	eqtr3i 2261	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
24	23	uneq2i 3380	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
25	3, 24	eqtr4i 2262	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
26	1, 2, 25	fvsnun2 5913	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
27	26, 5	eleq2s 2333	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218  {csn 3709  ⟨cop 3712   I cid 4433   ↾ cres 4776   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ℤ_≥cuz 9921  seqcseq 10884  !cfa 11163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-fac 11164

This theorem is used by:  fac1  11167  facp1  11168  bcval5  11201  logfac  15995