Theorem ennnfonelemhdmp1 11958

Description: Lemma for ennnfone 11974. Domain at a successor where we need to add an element to the sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhdmp1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfonelemhdmp1.nel	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhdmp1	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemhdmp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfonelemhdmp1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 11955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
10		ennnfonelemhdmp1.nel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
11	10	iffalsed 3489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
12	9, 11	eqtrd 2173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
13	12	dmeqd 4749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
14		dmun 4754	. . . 4 ⊢ dom ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})
15	13, 14	eqtrdi 2189	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
16		fof 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
17	2, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
18	5	frechashgf1o 10232	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
19		f1ocnv 5388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
20		f1of 5375	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ ◡𝑁:ℕ0⟶ω
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
23	22, 8	ffvelrnd 5564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑁‘𝑃) ∈ ω)
24	17, 23	ffvelrnd 5564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ 𝐴)
25		dmsnopg 5018	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩} = {dom (𝐻‘𝑃)})
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩} = {dom (𝐻‘𝑃)})
27	26	uneq2d 3235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)}))
28	15, 27	eqtrd 2173	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)}))
29		df-suc 4301	. 2 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑃) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)})
30	28, 29	eqtr4di 2191	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∪ cun 3074  ∅c0 3368  ifcif 3479  {csn 3532  ⟨cop 3535   ↦ cmpt 3997  suc csuc 4295  ωcom 4512  ^◡ccnv 4546  dom cdm 4547   “ cima 4550  ⟶wf 5127  –onto→wfo 5129  –1-1-onto→wf1o 5130  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782   ∈ cmpo 5784  freccfrec 6295   ↑_pm cpm 6551  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   − cmin 7957  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pm 6553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhf1o  11962