Theorem ennnfonelemhdmp1 12351

Description: Lemma for ennnfone 12367. Domain at a successor where we need to add an element to the sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhdmp1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfonelemhdmp1.nel	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhdmp1	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemhdmp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfonelemhdmp1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
10		ennnfonelemhdmp1.nel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
11	10	iffalsed 3535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
12	9, 11	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
13	12	dmeqd 4811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
14		dmun 4816	. . . 4 ⊢ dom ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})
15	13, 14	eqtrdi 2219	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
16		fof 5418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
17	2, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
18	5	frechashgf1o 10371	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
19		f1ocnv 5453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
20		f1of 5440	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ ◡𝑁:ℕ0⟶ω
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
23	22, 8	ffvelrnd 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑁‘𝑃) ∈ ω)
24	17, 23	ffvelrnd 5629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ 𝐴)
25		dmsnopg 5080	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩} = {dom (𝐻‘𝑃)})
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩} = {dom (𝐻‘𝑃)})
27	26	uneq2d 3281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)}))
28	15, 27	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)}))
29		df-suc 4354	. 2 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑃) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)})
30	28, 29	eqtr4di 2221	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  ifcif 3525  {csn 3581  ⟨cop 3584   ↦ cmpt 4048  suc csuc 4348  ωcom 4572  ^◡ccnv 4608  dom cdm 4609   “ cima 4612  ⟶wf 5192  –onto→wfo 5194  –1-1-onto→wf1o 5195  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850   ∈ cmpo 5852  freccfrec 6366   ↑_pm cpm 6623  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764   − cmin 8077  ℕ₀cn0 9122  ℤcz 9199  seqcseq 10388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pm 6625  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-seqfrec 10389

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhf1o  12355