Theorem ennnfonelemhdmp1 12435

Description: Lemma for ennnfone 12451. Domain at a successor where we need to add an element to the sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhdmp1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfonelemhdmp1.nel	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhdmp1	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemhdmp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfonelemhdmp1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
10		ennnfonelemhdmp1.nel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
11	10	iffalsed 3559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
12	9, 11	eqtrd 2222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
13	12	dmeqd 4844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
14		dmun 4849	. . . 4 ⊢ dom ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})
15	13, 14	eqtrdi 2238	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
16		fof 5454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
17	2, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
18	5	frechashgf1o 10448	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
19		f1ocnv 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
20		f1of 5477	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ ◡𝑁:ℕ0⟶ω
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
23	22, 8	ffvelcdmd 5669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑁‘𝑃) ∈ ω)
24	17, 23	ffvelcdmd 5669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ 𝐴)
25		dmsnopg 5115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩} = {dom (𝐻‘𝑃)})
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩} = {dom (𝐻‘𝑃)})
27	26	uneq2d 3304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)}))
28	15, 27	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)}))
29		df-suc 4386	. 2 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑃) = (dom (𝐻‘𝑃) ∪ {dom (𝐻‘𝑃)})
30	28, 29	eqtr4di 2240	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ∪ cun 3142  ∅c0 3437  ifcif 3549  {csn 3607  ⟨cop 3610   ↦ cmpt 4079  suc csuc 4380  ωcom 4604  ^◡ccnv 4640  dom cdm 4641   “ cima 4644  ⟶wf 5228  –onto→wfo 5230  –1-1-onto→wf1o 5231  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892   ∈ cmpo 5894  freccfrec 6410   ↑_pm cpm 6668  0cc0 7831  1c1 7832   + caddc 7834   − cmin 8148  ℕ₀cn0 9196  ℤcz 9273  seqcseq 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pm 6670  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-seqfrec 10466

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhf1o  12439