Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemhdmp1 GIF version

Theorem ennnfonelemhdmp1 11929
 Description: Lemma for ennnfone 11945. Domain at a successor where we need to add an element to the sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhdmp1.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfonelemhdmp1.nel (𝜑 → ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemhdmp1 (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻𝑃))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemhdmp1
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . . 7 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8 ennnfonelemhdmp1.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemp1 11926 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
10 ennnfonelemhdmp1.nel . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
1110iffalsed 3484 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})) = ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
129, 11eqtrd 2172 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
1312dmeqd 4741 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = dom ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
14 dmun 4746 . . . 4 dom ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}) = (dom (𝐻𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})
1513, 14syl6eq 2188 . . 3 (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
16 fof 5345 . . . . . . 7 (𝐹:ω–onto𝐴𝐹:ω⟶𝐴)
172, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω⟶𝐴)
185frechashgf1o 10208 . . . . . . . . 9 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
19 f1ocnv 5380 . . . . . . . . 9 (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0𝑁:ℕ01-1-onto→ω)
20 f1of 5367 . . . . . . . . 9 (𝑁:ℕ01-1-onto→ω → 𝑁:ℕ0⟶ω)
2118, 19, 20mp2b 8 . . . . . . . 8 𝑁:ℕ0⟶ω
2221a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑𝑁:ℕ0⟶ω)
2322, 8ffvelrnd 5556 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑃) ∈ ω)
2417, 23ffvelrnd 5556 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ 𝐴)
25 dmsnopg 5010 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩} = {dom (𝐻𝑃)})
2624, 25syl 14 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩} = {dom (𝐻𝑃)})
2726uneq2d 3230 . . 3 (𝜑 → (dom (𝐻𝑃) ∪ dom {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}) = (dom (𝐻𝑃) ∪ {dom (𝐻𝑃)}))
2815, 27eqtrd 2172 . 2 (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (dom (𝐻𝑃) ∪ {dom (𝐻𝑃)}))
29 df-suc 4293 . 2 suc dom (𝐻𝑃) = (dom (𝐻𝑃) ∪ {dom (𝐻𝑃)})
3028, 29syl6eqr 2190 1 (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑃 + 1)) = suc dom (𝐻𝑃))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ◡ccnv 4538  dom cdm 4539   “ cima 4542  ⟶wf 5119  –onto→wfo 5121  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287   ↑pm cpm 6543  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   − cmin 7940  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  seqcseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  ennnfonelemhf1o  11933
 Copyright terms: Public domain W3C validator