ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptaddx GIF version

Theorem dvmptaddx 14052
Description: Function-builder for derivative, addition rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptclx.ss (𝜑𝑋𝑆)
dvmptadd.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptadd.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptadd.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptaddx (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptaddx
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptclx.ss . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
3 dvmptadd.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
43fmpttd 5670 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
5 dvmptadd.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
65fmpttd 5670 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐶):𝑋⟶ℂ)
7 dvmptadd.da . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
87dmeqd 4828 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
9 dvmptadd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
109ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
11 dmmptg 5125 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
1210, 11syl 14 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
138, 12eqtrd 2210 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
14 dvmptadd.dc . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
1514dmeqd 4828 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = dom (𝑥𝑋𝐷))
16 dvmptadd.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
1716ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐷𝑊)
18 dmmptg 5125 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐷𝑊 → dom (𝑥𝑋𝐷) = 𝑋)
1917, 18syl 14 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐷) = 𝑋)
2015, 19eqtrd 2210 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = 𝑋)
211, 2, 4, 6, 13, 20dviaddf 14040 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ∘𝑓 + (𝑥𝑋𝐶))) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∘𝑓 + (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))))
221, 2ssexd 4142 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
23 eqidd 2178 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴))
24 eqidd 2178 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐶) = (𝑥𝑋𝐶))
2522, 3, 5, 23, 24offval2 6095 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ∘𝑓 + (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶)))
2625oveq2d 5888 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ∘𝑓 + (𝑥𝑋𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶))))
2722, 9, 16, 7, 14offval2 6095 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∘𝑓 + (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + 𝐷)))
2821, 26, 273eqtr3d 2218 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  wss 3129  {cpr 3593  cmpt 4063  dom cdm 4625  (class class class)co 5872  𝑓 cof 6078  cc 7806  cr 7807   + caddc 7811   D cdv 13995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928  ax-addf 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-of 6080  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-map 6647  df-pm 6648  df-sup 6980  df-inf 6981  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-xneg 9768  df-xadd 9769  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-rest 12678  df-topgen 12697  df-psmet 13316  df-xmet 13317  df-met 13318  df-bl 13319  df-mopn 13320  df-top 13367  df-topon 13380  df-bases 13412  df-ntr 13467  df-cn 13559  df-cnp 13560  df-tx 13624  df-limced 13996  df-dvap 13997
This theorem is referenced by:  dvmptsubcn  14056
  Copyright terms: Public domain W3C validator