ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptaddx GIF version

Theorem dvmptaddx 14266
Description: Function-builder for derivative, addition rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptadd.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptadd.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
dvmptclx.ss (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvmptadd.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
dvmptadd.d ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ π‘Š)
dvmptadd.dc (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptaddx (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐡 + 𝐷)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem dvmptaddx
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvmptclx.ss . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
3 dvmptadd.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43fmpttd 5673 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
5 dvmptadd.c . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
65fmpttd 5673 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢):π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvmptadd.da . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
87dmeqd 4831 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
9 dvmptadd.b . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
109ralrimiva 2550 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
11 dmmptg 5128 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
1210, 11syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
138, 12eqtrd 2210 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
14 dvmptadd.dc . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
1514dmeqd 4831 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
16 dvmptadd.d . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ π‘Š)
1716ralrimiva 2550 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐷 ∈ π‘Š)
18 dmmptg 5128 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐷 ∈ π‘Š β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = 𝑋)
1917, 18syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = 𝑋)
2015, 19eqtrd 2210 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) = 𝑋)
211, 2, 4, 6, 13, 20dviaddf 14254 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) βˆ˜π‘“ + (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))) = ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) βˆ˜π‘“ + (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))))
221, 2ssexd 4145 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
23 eqidd 2178 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
24 eqidd 2178 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
2522, 3, 5, 23, 24offval2 6100 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) βˆ˜π‘“ + (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐢)))
2625oveq2d 5893 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) βˆ˜π‘“ + (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐢))))
2722, 9, 16, 7, 14offval2 6100 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) βˆ˜π‘“ + (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐡 + 𝐷)))
2821, 26, 273eqtr3d 2218 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐡 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  {cpr 3595   ↦ cmpt 4066  dom cdm 4628  (class class class)co 5877   βˆ˜π‘“ cof 6083  β„‚cc 7811  β„cr 7812   + caddc 7816   D cdv 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-limced 14210  df-dvap 14211
This theorem is referenced by:  dvmptsubcn  14270
  Copyright terms: Public domain W3C validator