ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptclx GIF version

Theorem dvmptclx 14420
Description: Closure lemma for dvmptmulx 14422 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptadd.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptadd.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
dvmptclx.ss (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvmptclx ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem dvmptclx
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnex 7948 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
32a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
41elexd 2762 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
5 dvmptadd.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
65fmpttd 5684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvmptclx.ss . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 elpm2r 6679 . . . . . 6 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
93, 4, 6, 7, 8syl22anc 1249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
10 dvfgg 14397 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))βŸΆβ„‚)
111, 9, 10syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))βŸΆβ„‚)
12 dvmptadd.da . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
1312dmeqd 4841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
14 dvmptadd.b . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1514ralrimiva 2560 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
16 dmmptg 5138 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
1813, 17eqtrd 2220 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
1918feq2d 5365 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβ„‚))
2011, 19mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβ„‚)
2112feq1d 5364 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚))
2220, 21mpbid 147 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2322fvmptelcdm 5682 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  {cpr 3605   ↦ cmpt 4076  dom cdm 4638  βŸΆwf 5224  (class class class)co 5888   ↑pm cpm 6662  β„‚cc 7822  β„cr 7823   D cdv 14364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-pm 6664  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13673  df-xmet 13674  df-met 13675  df-bl 13676  df-mopn 13677  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783  df-ntr 13836  df-limced 14365  df-dvap 14366
This theorem is referenced by:  dvmptmulx  14422  dvmptcmulcn  14423  dvmptnegcn  14424  dvmptsubcn  14425  dvmptcjx  14426
  Copyright terms: Public domain W3C validator