ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptclx GIF version

Theorem dvmptclx 14583
Description: Closure lemma for dvmptmulx 14585 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptadd.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptadd.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
dvmptclx.ss (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvmptclx ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem dvmptclx
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnex 7954 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
32a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
41elexd 2765 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
5 dvmptadd.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
65fmpttd 5687 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvmptclx.ss . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
8 elpm2r 6684 . . . . . 6 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
93, 4, 6, 7, 8syl22anc 1250 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
10 dvfgg 14560 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))βŸΆβ„‚)
111, 9, 10syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))βŸΆβ„‚)
12 dvmptadd.da . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
1312dmeqd 4844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
14 dvmptadd.b . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1514ralrimiva 2563 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
16 dmmptg 5141 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
1813, 17eqtrd 2222 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
1918feq2d 5368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβ„‚))
2011, 19mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβ„‚)
2112feq1d 5367 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚))
2220, 21mpbid 147 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2322fvmptelcdm 5685 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468  Vcvv 2752   βŠ† wss 3144  {cpr 3608   ↦ cmpt 4079  dom cdm 4641  βŸΆwf 5227  (class class class)co 5891   ↑pm cpm 6667  β„‚cc 7828  β„cr 7829   D cdv 14527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-pm 6669  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-rest 12718  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-ntr 13999  df-limced 14528  df-dvap 14529
This theorem is referenced by:  dvmptmulx  14585  dvmptcmulcn  14586  dvmptnegcn  14587  dvmptsubcn  14588  dvmptcjx  14589
  Copyright terms: Public domain W3C validator