Theorem dvmptclx 15821

Description: Closure lemma for dvmptmulx 15823 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptclx.ss	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvmptclx	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptclx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		cnex 8303	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
4	1	elexd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
5		dvmptadd.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	fmpttd 5863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
7		dvmptclx.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8		elpm2r 6940	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		dvfgg 15791	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))⟶ℂ)
11	1, 9, 10	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))⟶ℂ)
12		dvmptadd.da	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
13	12	dmeqd 4983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
14		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
15	14	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
16		dmmptg 5285	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
18	13, 17	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
19	18	feq2d 5521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):𝑋⟶ℂ))
20	11, 19	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):𝑋⟶ℂ)
21	12	feq1d 5520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ))
22	20, 21	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
23	22	fvmptelcdm 5861	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   ↦ cmpt 4192  dom cdm 4774  ⟶wf 5373  (class class class)co 6085   ↑_pm cpm 6923  ℂcc 8177  ℝcr 8178   D cdv 15758

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-xneg 10176  df-xadd 10177  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-rest 13597  df-topgen 13616  df-psmet 14882  df-xmet 14883  df-met 14884  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-top 15101  df-topon 15114  df-bases 15146  df-ntr 15199  df-limced 15759  df-dvap 15760

This theorem is used by:  dvmptmulx  15823  dvmptcmulcn  15824  dvmptnegcn  15825  dvmptsubcn  15826  dvmptcjx  15827