Theorem fiss 6942

Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sspwb 4194	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)
3		ssrin 3347	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
4	2, 3	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
5		ssrexv 3207	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
7		vex 2729	. . . 4 ⊢ 𝑟 ∈ V
8		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	8, 1	ssexd 4122	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10		elfi 6936	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
11	7, 9, 10	sylancr 411	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
12		elfi 6936	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
13	7, 12	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
14	13	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
15	6, 11, 14	3imtr4d 202	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑟 ∈ (fi‘𝐵)))
16	15	ssrdv 3148	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  𝒫 cpw 3559  ∩ cint 3824  ‘cfv 5188  Fincfn 6706  ficfi 6933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-fi 6934

This theorem is referenced by: (None)