ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiss GIF version

Theorem fiss 6831
Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 sspwb 4106 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)
3 ssrin 3269 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
42, 3sylbi 120 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
5 ssrexv 3130 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
61, 4, 53syl 17 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
7 vex 2661 . . . 4 𝑟 ∈ V
8 simpl 108 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐵𝑉)
98, 1ssexd 4036 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10 elfi 6825 . . . 4 ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
117, 9, 10sylancr 408 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
12 elfi 6825 . . . . 5 ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
137, 12mpan 418 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
1413adantr 272 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
156, 11, 143imtr4d 202 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑟 ∈ (fi‘𝐵)))
1615ssrdv 3071 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392  Vcvv 2658  cin 3038  wss 3039  𝒫 cpw 3478   cint 3739  cfv 5091  Fincfn 6600  ficfi 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-fi 6823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator