ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiss GIF version

Theorem fiss 6970
Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 sspwb 4213 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)
3 ssrin 3360 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
42, 3sylbi 121 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
5 ssrexv 3220 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
61, 4, 53syl 17 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
7 vex 2740 . . . 4 𝑟 ∈ V
8 simpl 109 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐵𝑉)
98, 1ssexd 4140 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10 elfi 6964 . . . 4 ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
117, 9, 10sylancr 414 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
12 elfi 6964 . . . . 5 ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
137, 12mpan 424 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
1413adantr 276 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = 𝑥))
156, 11, 143imtr4d 203 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑟 ∈ (fi‘𝐵)))
1615ssrdv 3161 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3574   cint 3842  cfv 5212  Fincfn 6734  ficfi 6961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-fi 6962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator