Theorem fiss 7311

Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sspwb 4356	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵)
3		ssrin 3456	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
4	2, 3	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
5		ssrexv 3313	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
7		vex 2824	. . . 4 ⊢ 𝑟 ∈ V
8		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	8, 1	ssexd 4273	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10		elfi 7305	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
11	7, 9, 10	sylancr 418	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
12		elfi 7305	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
13	7, 12	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑟 = ∩ 𝑥))
15	6, 11, 14	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑟 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑟 ∈ (fi‘𝐵)))
16	15	ssrdv 3254	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  ∩ cint 3970  ‘cfv 5377  Fincfn 7022  ficfi 7302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-fi 7303

This theorem is used by: (None)