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Theorem fzen 9664
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzf 9635 . . . . 5 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5208 . . . . 5 (...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ → ... Fn (ℤ × ℤ))
31, 2ax-mp 7 . . . 4 ... Fn (ℤ × ℤ)
4 fnovex 5736 . . . 4 ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
53, 4mp3an1 1270 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
653adant3 969 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
7 simp1 949 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 simp3 951 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
97, 8zaddcld 9029 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10 simp2 950 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110, 8zaddcld 9029 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
12 fnovex 5736 . . . 4 ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
133, 12mp3an1 1270 . . 3 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
149, 11, 13syl2anc 406 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
15 elfz1 9636 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
1615biimpd 143 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
17163adant3 969 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
18 zaddcl 8946 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
1918expcom 115 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
20193ad2ant3 972 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
2120adantrd 275 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
22 zre 8910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23 zre 8910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
24 zre 8910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
25 leadd1 8059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2622, 23, 24, 25syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2726biimpd 143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2827adantrd 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
29283com23 1155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
30293expia 1151 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
3130impd 252 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
32313adant2 968 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
33 zre 8910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34 leadd1 8059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3523, 33, 24, 34syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3635biimpd 143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3736adantld 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
38373coml 1156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
39383expia 1151 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4039impd 252 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
41403adant1 967 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
4221, 32, 413jcad 1130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
43 zaddcl 8946 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44433adant2 968 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
45 zaddcl 8946 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
46453adant1 967 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
47 elfz1 9636 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4844, 46, 47syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4948biimprd 157 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5042, 49syld 45 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5150com12 30 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
52513impb 1145 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5352com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5417, 53syld 45 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
55 elfz1 9636 . . . . 5 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
5644, 46, 55syl2anc 406 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
5756biimpd 143 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
58 zsubcl 8947 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ ℤ)
5958expcom 115 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
60593ad2ant3 972 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
6160adantrd 275 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
62 zre 8910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
63 leaddsub 8067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6422, 24, 62, 63syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6564biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6665adantrd 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
67663expia 1151 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾))))
6867impd 252 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
69683adant2 968 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
70 lesubadd 8063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7162, 24, 33, 70syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7271biimprd 157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7372adantld 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
74733coml 1156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
75743expia 1151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
7675impd 252 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7776ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
78773adant1 967 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7961, 69, 783jcad 1130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
80 elfz1 9636 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
8180biimprd 157 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
82813adant3 969 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8379, 82syld 45 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8483com12 30 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
85843impb 1145 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8685com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8757, 86syld 45 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8817imp 123 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁))
8988simp1d 961 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9089ex 114 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
9157imp 123 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
9291simp1d 961 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9392ex 114 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
94 zcn 8911 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
95 zcn 8911 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
96 zcn 8911 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97 subadd 7836 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
98 eqcom 2102 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐾) = 𝑘𝑘 = (𝑚𝐾))
99 eqcom 2102 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
10097, 98, 993bitr3g 221 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
101 addcom 7770 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
1021013adant1 967 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
103102eqeq2d 2111 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
104100, 103bitrd 187 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
10594, 95, 96, 104syl3an 1226 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
1061053coml 1156 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
1071063expib 1152 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
1081073ad2ant3 972 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
10990, 93, 108syl2and 291 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
1106, 14, 54, 87, 109en3d 6593 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  Vcvv 2641  𝒫 cpw 3457   class class class wbr 3875   × cxp 4475   Fn wfn 5054  wf 5055  (class class class)co 5706  cen 6562  cc 7498  cr 7499   + caddc 7503  cle 7673  cmin 7804  cz 8906  ...cfz 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-en 6565  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-fz 9632
This theorem is referenced by:  fz01en  9674  frecfzen2  10041  hashfz  10408  mertenslemi1  11143  hashdvds  11689
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