Theorem fzen 10426

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzf 10394	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
2		ffn 5528	. . . . 5 ⊢ (...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ → ... Fn (ℤ × ℤ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ... Fn (ℤ × ℤ)
4		fnovex 6108	. . . 4 ⊢ ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5	3, 4	mp3an1 1365	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
6	5	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
7		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	7, 8	zaddcld 9751	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10, 8	zaddcld 9751	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
12		fnovex 6108	. . 3 ⊢ ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
13	3, 9, 11, 12	mp3an2i 1383	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
14		elfz1 10395	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
15	14	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
16	15	3adant3 1048	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
17		zaddcl 9663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
18	17	expcom 116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
19	18	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
20	19	adantrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
21		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
22		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
23		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
24		leadd1 8748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
26	25	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
27	26	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
28	27	3com23 1240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
29	28	3expia 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
30	29	impd 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
31	30	3adant2 1047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
32		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
33		leadd1 8748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
34	22, 32, 23, 33	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
36	35	adantld 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
37	36	3coml 1241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
38	37	3expia 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
39	38	impd 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
40	39	3adant1 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
41	20, 31, 40	3jcad 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
42		zaddcl 9663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
43	42	3adant2 1047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44		zaddcl 9663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
45	44	3adant1 1046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
46		elfz1 10395	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
47	43, 45, 46	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
48	47	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
49	41, 48	syldc 46	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
50	49	3impb 1230	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
51	50	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
52	16, 51	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
53		elfz1 10395	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
54	43, 45, 53	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
55	54	biimpd 144	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
56		zsubcl 9664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ)
57	56	expcom 116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
58	57	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
59	58	adantrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
60		zre 9627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
61		leaddsub 8756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
62	21, 23, 60, 61	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
63	62	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
64	63	adantrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
65	64	3expia 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾))))
66	65	impd 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
67	66	3adant2 1047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
68		lesubadd 8752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
69	60, 23, 32, 68	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
70	69	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
72	71	3coml 1241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
73	72	3expia 1236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
74	73	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
75	74	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
76	75	3adant1 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
77	59, 67, 76	3jcad 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
78		elfz1 10395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
79	78	biimprd 158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
80	79	3adant3 1048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
81	77, 80	syldc 46	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
82	81	3impb 1230	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
83	82	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
84	55, 83	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
85	16	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
86	85	simp1d 1040	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
87	86	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
88	55	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
89	88	simp1d 1040	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
90	89	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
91		zcn 9628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
92		zcn 9628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
93		zcn 9628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
94		subadd 8519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
95		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (𝑚 − 𝐾))
96		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚 ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
97	94, 95, 96	3bitr3g 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
98		addcom 8453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
99	98	3adant1 1046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
100	99	eqeq2d 2250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
101	97, 100	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
102	91, 92, 93, 101	syl3an 1320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
103	102	3coml 1241	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
104	103	3expib 1237	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
105	104	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
106	87, 90, 105	syl2and 295	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
107	6, 13, 52, 84, 106	en3d 7045	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3685   class class class wbr 4125   × cxp 4767   Fn wfn 5367  ⟶wf 5368  (class class class)co 6075   ≈ cen 7010  ℂcc 8167  ℝcr 8168   + caddc 8172   ≤ cle 8351   − cmin 8487  ℤcz 9623  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-en 7013  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fz01en  10437  frecfzen2  10842  hashfz  11240  mertenslemi1  12280  hashdvds  12977