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Theorem fzen 9389
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzf 9360 . . . . 5 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5126 . . . . 5 (...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ → ... Fn (ℤ × ℤ))
31, 2ax-mp 7 . . . 4 ... Fn (ℤ × ℤ)
4 fnovex 5639 . . . 4 ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
53, 4mp3an1 1258 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
653adant3 961 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
7 simp1 941 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 simp3 943 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
97, 8zaddcld 8805 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10 simp2 942 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110, 8zaddcld 8805 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
12 fnovex 5639 . . . 4 ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
133, 12mp3an1 1258 . . 3 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
149, 11, 13syl2anc 403 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
15 elfz1 9361 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
1615biimpd 142 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
17163adant3 961 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
18 zaddcl 8723 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
1918expcom 114 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
20193ad2ant3 964 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
2120adantrd 273 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
22 zre 8687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23 zre 8687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
24 zre 8687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
25 leadd1 7852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2622, 23, 24, 25syl3an 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2726biimpd 142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2827adantrd 273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
29283com23 1147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
30293expia 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
3130impd 251 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
32313adant2 960 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
33 zre 8687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34 leadd1 7852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3523, 33, 24, 34syl3an 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3635biimpd 142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3736adantld 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
38373coml 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
39383expia 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4039impd 251 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
41403adant1 959 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
4221, 32, 413jcad 1122 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
43 zaddcl 8723 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44433adant2 960 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
45 zaddcl 8723 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
46453adant1 959 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
47 elfz1 9361 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4844, 46, 47syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4948biimprd 156 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5042, 49syld 44 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5150com12 30 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
52513impb 1137 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5352com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5417, 53syld 44 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
55 elfz1 9361 . . . . 5 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
5644, 46, 55syl2anc 403 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
5756biimpd 142 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
58 zsubcl 8724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ ℤ)
5958expcom 114 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
60593ad2ant3 964 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
6160adantrd 273 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
62 zre 8687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
63 leaddsub 7860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6422, 24, 62, 63syl3an 1214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6564biimpd 142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6665adantrd 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
67663expia 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾))))
6867impd 251 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
69683adant2 960 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
70 lesubadd 7856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7162, 24, 33, 70syl3an 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7271biimprd 156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7372adantld 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
74733coml 1148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
75743expia 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
7675impd 251 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7776ancoms 264 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
78773adant1 959 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7961, 69, 783jcad 1122 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
80 elfz1 9361 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
8180biimprd 156 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
82813adant3 961 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8379, 82syld 44 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8483com12 30 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
85843impb 1137 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8685com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8757, 86syld 44 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
8817imp 122 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁))
8988simp1d 953 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9089ex 113 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
9157imp 122 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
9291simp1d 953 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9392ex 113 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
94 zcn 8688 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
95 zcn 8688 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
96 zcn 8688 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97 subadd 7629 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
98 eqcom 2087 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐾) = 𝑘𝑘 = (𝑚𝐾))
99 eqcom 2087 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
10097, 98, 993bitr3g 220 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
101 addcom 7563 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
1021013adant1 959 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
103102eqeq2d 2096 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
104100, 103bitrd 186 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
10594, 95, 96, 104syl3an 1214 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
1061053coml 1148 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
1071063expib 1144 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
1081073ad2ant3 964 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
10990, 93, 108syl2and 289 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
1106, 14, 54, 87, 109en3d 6438 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2615  𝒫 cpw 3415   class class class wbr 3820   × cxp 4409   Fn wfn 4976  wf 4977  (class class class)co 5613  cen 6407  cc 7292  cr 7293   + caddc 7297  cle 7467  cmin 7597  cz 8683  ...cfz 9356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-ltadd 7405
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-en 6410  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-fz 9357
This theorem is referenced by:  fz01en  9399  frecfzen2  9762  hashfz  10126  hashdvds  11079
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