Theorem fzen 9999

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzf 9969	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
2		ffn 5347	. . . . 5 ⊢ (...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ → ... Fn (ℤ × ℤ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ... Fn (ℤ × ℤ)
4		fnovex 5886	. . . 4 ⊢ ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5	3, 4	mp3an1 1319	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
6	5	3adant3 1012	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
7		simp1 992	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simp3 994	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	7, 8	zaddcld 9338	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10		simp2 993	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10, 8	zaddcld 9338	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
12		fnovex 5886	. . . 4 ⊢ ((... Fn (ℤ × ℤ) ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
13	3, 12	mp3an1 1319	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
14	9, 11, 13	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
15		elfz1 9970	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
16	15	biimpd 143	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
17	16	3adant3 1012	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
18		zaddcl 9252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
19	18	expcom 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
20	19	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
21	20	adantrd 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
22		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
24		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
25		leadd1 8349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
26	22, 23, 24, 25	syl3an 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
27	26	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
28	27	adantrd 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
29	28	3com23 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
30	29	3expia 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
31	30	impd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
32	31	3adant2 1011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
33		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34		leadd1 8349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
35	23, 33, 24, 34	syl3an 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
36	35	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
37	36	adantld 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
38	37	3coml 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
39	38	3expia 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
40	39	impd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
41	40	3adant1 1010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
42	21, 32, 41	3jcad 1173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
43		zaddcl 9252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
44	43	3adant2 1011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
45		zaddcl 9252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
46	45	3adant1 1010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
47		elfz1 9970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
48	44, 46, 47	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
49	48	biimprd 157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
50	42, 49	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
51	50	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
52	51	3impb 1194	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
53	52	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
54	17, 53	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
55		elfz1 9970	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
56	44, 46, 55	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
57	56	biimpd 143	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
58		zsubcl 9253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ)
59	58	expcom 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
60	59	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
61	60	adantrd 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
62		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
63		leaddsub 8357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
64	22, 24, 62, 63	syl3an 1275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
65	64	biimpd 143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
66	65	adantrd 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
67	66	3expia 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾))))
68	67	impd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
69	68	3adant2 1011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
70		lesubadd 8353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
71	62, 24, 33, 70	syl3an 1275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
72	71	biimprd 157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
73	72	adantld 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
74	73	3coml 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
75	74	3expia 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
76	75	impd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
77	76	ancoms 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
78	77	3adant1 1010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
79	61, 69, 78	3jcad 1173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
80		elfz1 9970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
81	80	biimprd 157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
82	81	3adant3 1012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
83	79, 82	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
84	83	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
85	84	3impb 1194	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
86	85	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
87	57, 86	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
88	17	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
89	88	simp1d 1004	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
90	89	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
91	57	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
92	91	simp1d 1004	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
93	92	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
94		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
95		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
96		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97		subadd 8122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
98		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (𝑚 − 𝐾))
99		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚 ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
100	97, 98, 99	3bitr3g 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
101		addcom 8056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
102	101	3adant1 1010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
103	102	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
104	100, 103	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
105	94, 95, 96, 104	syl3an 1275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
106	105	3coml 1205	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
107	106	3expib 1201	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
108	107	3ad2ant3 1015	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
109	90, 93, 108	syl2and 293	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
110	6, 14, 54, 87, 109	en3d 6747	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  𝒫 cpw 3566   class class class wbr 3989   × cxp 4609   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  (class class class)co 5853   ≈ cen 6716  ℂcc 7772  ℝcr 7773   + caddc 7777   ≤ cle 7955   − cmin 8090  ℤcz 9212  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  fz01en  10009  frecfzen2  10383  hashfz  10756  mertenslemi1  11498  hashdvds  12175