Theorem fzaddel 10053

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzaddel	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))

Proof of Theorem fzaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
2		zaddcl 9288	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℤ ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ ℤ ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ))
5		zre 9252	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 9252	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
7		zre 9252	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
8		leadd1 8382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1280	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
10	9	3expb 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
11	10	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12		zre 9252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		leadd1 8382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
14	6, 12, 7, 13	syl3an 1280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
15	14	3com12 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
16	15	3expb 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
17	16	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
18	4, 11, 17	3anbi123d 1312	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
19		elfz1 10008	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
21		zaddcl 9288	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
22		zaddcl 9288	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
23		elfz1 10008	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
25	24	anandirs 593	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
26	25	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
27	18, 20, 26	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871  ℝcr 7806   + caddc 7810   ≤ cle 7988  ℤcz 9248  ...cfz 10003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-fz 10004

This theorem is referenced by:  fzsubel  10054  ser3mono  10472  bcp1nk  10734  mptfzshft  11442  binomlem  11483