Theorem elfz3 10004

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))

Proof of Theorem elfz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9515	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
2		eluzfz1 10001	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501  ...cfz 9979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-ltirr 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-neg 8105  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980

This theorem is referenced by:  fzsn  10036  fz1sbc  10066