Theorem uzid 9236

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8956	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8189	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 319	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9226	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  ‘cfv 5079   ≤ cle 7719  ℤcz 8952  ℤ_≥cuz 9222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-pre-ltirr 7651

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-neg 7853  df-z 8953  df-uz 9223

This theorem is referenced by:  uzn0  9237  uz11  9244  eluzfz1  9698  eluzfz2  9699  elfz3  9701  elfz1end  9722  fzssp1  9734  fzpred  9737  fzp1ss  9740  fzpr  9744  fztp  9745  elfz0add  9787  fzolb  9817  zpnn0elfzo  9871  fzosplitsnm1  9873  fzofzp1  9891  fzosplitsn  9897  fzostep1  9901  frec2uzuzd  10062  frecuzrdgrrn  10068  frec2uzrdg  10069  frecuzrdgrcl  10070  frecuzrdgsuc  10074  frecuzrdgrclt  10075  frecuzrdgg  10076  frecuzrdgsuctlem  10083  uzsinds  10102  seq3val  10118  seqvalcd  10119  seq3-1  10120  seqf  10121  seq3p1  10122  seq3fveq  10131  seq3-1p  10140  seq3caopr3  10141  iseqf1olemjpcl  10155  iseqf1olemqpcl  10156  seq3f1oleml  10163  seq3f1o  10164  seq3homo  10170  faclbnd3  10376  bcm1k  10393  bcn2  10397  seq3coll  10472  rexuz3  10648  r19.2uz  10651  resqrexlemcvg  10677  resqrexlemgt0  10678  resqrexlemoverl  10679  cau3lem  10772  caubnd2  10775  climconst  10945  climuni  10948  climcau  11002  serf0  11007  fsumparts  11125  isum1p  11147  isumrpcl  11149  cvgratz  11187  mertenslemi1  11190  eftlub  11241  zsupcllemstep  11480  zsupcllemex  11481  ialgr0  11565  eucalg  11580  pw2dvds  11683  ennnfonelem1  11759  lmconst  12221  cvgcmp2nlemabs  12908  trilpolemlt1  12915