Theorem uzid 9664

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9378	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8589	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9654	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4045  ‘cfv 5272   ≤ cle 8110  ℤcz 9374  ℤ_≥cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  uzidd  9665  uzn0  9666  uz11  9673  eluzfz1  10155  eluzfz2  10156  elfz3  10158  elfz1end  10179  fzssp1  10191  fzpred  10194  fzp1ss  10197  fzpr  10201  fztp  10202  elfz0add  10244  fzolb  10278  zpnn0elfzo  10338  fzosplitsnm1  10340  fzofzp1  10358  fzosplitsn  10364  fzostep1  10368  zsupcllemstep  10374  zsupcllemex  10375  frec2uzuzd  10549  frecuzrdgrrn  10555  frec2uzrdg  10556  frecuzrdgrcl  10557  frecuzrdgsuc  10561  frecuzrdgrclt  10562  frecuzrdgg  10563  frecuzrdgsuctlem  10570  uzsinds  10591  seq3val  10607  seqvalcd  10608  seq3-1  10609  seqf  10611  seq3p1  10612  seq3fveq  10626  seq3-1p  10637  seq3caopr3  10638  iseqf1olemjpcl  10655  iseqf1olemqpcl  10656  seq3f1oleml  10663  seq3f1o  10664  seq3homo  10674  faclbnd3  10890  bcm1k  10907  bcn2  10911  seq3coll  10989  swrds1  11124  rexuz3  11334  r19.2uz  11337  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemgt0  11364  resqrexlemoverl  11365  cau3lem  11458  caubnd2  11461  climconst  11634  climuni  11637  climcau  11691  serf0  11696  fsumparts  11814  isum1p  11836  isumrpcl  11838  cvgratz  11876  mertenslemi1  11879  ntrivcvgap0  11893  fprodabs  11960  eftlub  12034  bitsfzo  12299  bitsinv1  12306  ialgr0  12399  eucalg  12414  pw2dvds  12521  eulerthlemrprm  12584  oddprm  12615  pcfac  12706  pcbc  12707  ennnfonelem1  12811  gsumfzconst  13710  lmconst  14721  2logb9irr  15476  sqrt2cxp2logb9e3  15480  2logb9irrap  15482  lgseisenlem4  15583  lgsquadlem1  15587  lgsquad2  15593  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemlt1  16017