Theorem uzid 9606

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9321	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8533	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9596	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  uzidd  9607  uzn0  9608  uz11  9615  eluzfz1  10097  eluzfz2  10098  elfz3  10100  elfz1end  10121  fzssp1  10133  fzpred  10136  fzp1ss  10139  fzpr  10143  fztp  10144  elfz0add  10186  fzolb  10220  zpnn0elfzo  10274  fzosplitsnm1  10276  fzofzp1  10294  fzosplitsn  10300  fzostep1  10304  frec2uzuzd  10473  frecuzrdgrrn  10479  frec2uzrdg  10480  frecuzrdgrcl  10481  frecuzrdgsuc  10485  frecuzrdgrclt  10486  frecuzrdgg  10487  frecuzrdgsuctlem  10494  uzsinds  10515  seq3val  10531  seqvalcd  10532  seq3-1  10533  seqf  10535  seq3p1  10536  seq3fveq  10550  seq3-1p  10561  seq3caopr3  10562  iseqf1olemjpcl  10579  iseqf1olemqpcl  10580  seq3f1oleml  10587  seq3f1o  10588  seq3homo  10598  faclbnd3  10814  bcm1k  10831  bcn2  10835  seq3coll  10913  rexuz3  11134  r19.2uz  11137  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemgt0  11164  resqrexlemoverl  11165  cau3lem  11258  caubnd2  11261  climconst  11433  climuni  11436  climcau  11490  serf0  11495  fsumparts  11613  isum1p  11635  isumrpcl  11637  cvgratz  11675  mertenslemi1  11678  ntrivcvgap0  11692  fprodabs  11759  eftlub  11833  zsupcllemstep  12082  zsupcllemex  12083  ialgr0  12182  eucalg  12197  pw2dvds  12304  eulerthlemrprm  12367  oddprm  12397  pcfac  12488  pcbc  12489  ennnfonelem1  12564  gsumfzconst  13411  lmconst  14384  2logb9irr  15103  sqrt2cxp2logb9e3  15107  2logb9irrap  15109  lgseisenlem4  15189  lgsquadlem1  15191  cvgcmp2nlemabs  15522  trilpolemlt1  15531