Theorem uzid 9938

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9650	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8842	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9927	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377   ≤ cle 8361  ℤcz 9646  ℤ_≥cuz 9923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8500  df-z 9647  df-uz 9924

This theorem is used by:  uzidd  9939  uzn0  9940  uz11  9947  eluzfz1  10437  eluzfz2  10438  elfz3  10440  elfz1end  10463  fzssp1  10475  fzpred  10479  fzp1ss  10482  fzpr  10486  fztp  10487  elfz0add  10529  fzolb  10563  zpnn0elfzo  10627  fzosplitsnm1  10629  fzofzp1  10647  fzosplitsn  10653  fzostep1  10658  zsupcllemstep  10664  zsupcllemex  10665  frec2uzuzd  10841  frecuzrdgrrn  10847  frec2uzrdg  10848  frecuzrdgrcl  10849  frecuzrdgsuc  10853  frecuzrdgrclt  10854  frecuzrdgg  10855  frecuzrdgsuctlem  10862  uzsinds  10883  seq3val  10899  seqvalcd  10900  seq3-1  10901  seqf  10903  seq3p1  10904  seq3fveq  10918  seq3-1p  10929  seq3caopr3  10930  iseqf1olemjpcl  10947  iseqf1olemqpcl  10948  seq3f1oleml  10955  seq3f1o  10956  seq3homo  10966  faclbnd3  11183  bcm1k  11200  bcn2  11204  seq3coll  11296  swrds1  11442  pfxccatpfx2  11511  rexuz3  11758  r19.2uz  11761  resqrexlemcvg  11787  resqrexlemgt0  11788  resqrexlemoverl  11789  cau3lem  11882  caubnd2  11885  climconst  12058  climuni  12061  climcau  12115  serf0  12120  fsumparts  12239  isum1p  12261  isumrpcl  12263  cvgratz  12301  mertenslemi1  12304  ntrivcvgap0  12318  fprodabs  12385  eftlub  12459  bitsfzo  12724  bitsinv1  12731  ialgr0  12824  eucalg  12839  pw2dvds  12946  eulerthlemrprm  13009  oddprm  13040  pcfac  13131  pcbc  13132  ballotfilemfp1  13233  ennnfonelem1  13300  gzsumconst  14145  lmconst  15319  2logb9irr  16079  sqrt2cxp2logb9e3  16083  2logb9irrap  16085  lgseisenlem4  16204  lgsquadlem1  16208  lgsquad2  16214  cvgcmp2nlemabs  17093  trilpolemlt1  17102