Theorem uzid 9609

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9324	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8535	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9599	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255   ≤ cle 8057  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  uzidd  9610  uzn0  9611  uz11  9618  eluzfz1  10100  eluzfz2  10101  elfz3  10103  elfz1end  10124  fzssp1  10136  fzpred  10139  fzp1ss  10142  fzpr  10146  fztp  10147  elfz0add  10189  fzolb  10223  zpnn0elfzo  10277  fzosplitsnm1  10279  fzofzp1  10297  fzosplitsn  10303  fzostep1  10307  frec2uzuzd  10476  frecuzrdgrrn  10482  frec2uzrdg  10483  frecuzrdgrcl  10484  frecuzrdgsuc  10488  frecuzrdgrclt  10489  frecuzrdgg  10490  frecuzrdgsuctlem  10497  uzsinds  10518  seq3val  10534  seqvalcd  10535  seq3-1  10536  seqf  10538  seq3p1  10539  seq3fveq  10553  seq3-1p  10564  seq3caopr3  10565  iseqf1olemjpcl  10582  iseqf1olemqpcl  10583  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  seq3homo  10601  faclbnd3  10817  bcm1k  10834  bcn2  10838  seq3coll  10916  rexuz3  11137  r19.2uz  11140  resqrexlemcvg  11166  resqrexlemgt0  11167  resqrexlemoverl  11168  cau3lem  11261  caubnd2  11264  climconst  11436  climuni  11439  climcau  11493  serf0  11498  fsumparts  11616  isum1p  11638  isumrpcl  11640  cvgratz  11678  mertenslemi1  11681  ntrivcvgap0  11695  fprodabs  11762  eftlub  11836  zsupcllemstep  12085  zsupcllemex  12086  ialgr0  12185  eucalg  12200  pw2dvds  12307  eulerthlemrprm  12370  oddprm  12400  pcfac  12491  pcbc  12492  ennnfonelem1  12567  gsumfzconst  13414  lmconst  14395  2logb9irr  15144  sqrt2cxp2logb9e3  15148  2logb9irrap  15150  lgseisenlem4  15230  lgsquadlem1  15234  lgsquad2  15240  cvgcmp2nlemabs  15592  trilpolemlt1  15601