Theorem uzid 9744

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9458	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8669	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9734	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318   ≤ cle 8190  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-pre-ltirr 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-neg 8328  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  uzidd  9745  uzn0  9746  uz11  9753  eluzfz1  10235  eluzfz2  10236  elfz3  10238  elfz1end  10259  fzssp1  10271  fzpred  10274  fzp1ss  10277  fzpr  10281  fztp  10282  elfz0add  10324  fzolb  10358  zpnn0elfzo  10421  fzosplitsnm1  10423  fzofzp1  10441  fzosplitsn  10447  fzostep1  10451  zsupcllemstep  10457  zsupcllemex  10458  frec2uzuzd  10632  frecuzrdgrrn  10638  frec2uzrdg  10639  frecuzrdgrcl  10640  frecuzrdgsuc  10644  frecuzrdgrclt  10645  frecuzrdgg  10646  frecuzrdgsuctlem  10653  uzsinds  10674  seq3val  10690  seqvalcd  10691  seq3-1  10692  seqf  10694  seq3p1  10695  seq3fveq  10709  seq3-1p  10720  seq3caopr3  10721  iseqf1olemjpcl  10738  iseqf1olemqpcl  10739  seq3f1oleml  10746  seq3f1o  10747  seq3homo  10757  faclbnd3  10973  bcm1k  10990  bcn2  10994  seq3coll  11072  swrds1  11208  pfxccatpfx2  11277  rexuz3  11509  r19.2uz  11512  resqrexlemcvg  11538  resqrexlemgt0  11539  resqrexlemoverl  11540  cau3lem  11633  caubnd2  11636  climconst  11809  climuni  11812  climcau  11866  serf0  11871  fsumparts  11989  isum1p  12011  isumrpcl  12013  cvgratz  12051  mertenslemi1  12054  ntrivcvgap0  12068  fprodabs  12135  eftlub  12209  bitsfzo  12474  bitsinv1  12481  ialgr0  12574  eucalg  12589  pw2dvds  12696  eulerthlemrprm  12759  oddprm  12790  pcfac  12881  pcbc  12882  ennnfonelem1  12986  gsumfzconst  13886  lmconst  14898  2logb9irr  15653  sqrt2cxp2logb9e3  15657  2logb9irrap  15659  lgseisenlem4  15760  lgsquadlem1  15764  lgsquad2  15770  cvgcmp2nlemabs  16430  trilpolemlt1  16439