Theorem uzid 9697

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9411	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8622	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9687	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290   ≤ cle 8143  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  uzidd  9698  uzn0  9699  uz11  9706  eluzfz1  10188  eluzfz2  10189  elfz3  10191  elfz1end  10212  fzssp1  10224  fzpred  10227  fzp1ss  10230  fzpr  10234  fztp  10235  elfz0add  10277  fzolb  10311  zpnn0elfzo  10373  fzosplitsnm1  10375  fzofzp1  10393  fzosplitsn  10399  fzostep1  10403  zsupcllemstep  10409  zsupcllemex  10410  frec2uzuzd  10584  frecuzrdgrrn  10590  frec2uzrdg  10591  frecuzrdgrcl  10592  frecuzrdgsuc  10596  frecuzrdgrclt  10597  frecuzrdgg  10598  frecuzrdgsuctlem  10605  uzsinds  10626  seq3val  10642  seqvalcd  10643  seq3-1  10644  seqf  10646  seq3p1  10647  seq3fveq  10661  seq3-1p  10672  seq3caopr3  10673  iseqf1olemjpcl  10690  iseqf1olemqpcl  10691  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  seq3homo  10709  faclbnd3  10925  bcm1k  10942  bcn2  10946  seq3coll  11024  swrds1  11159  pfxccatpfx2  11228  rexuz3  11416  r19.2uz  11419  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemgt0  11446  resqrexlemoverl  11447  cau3lem  11540  caubnd2  11543  climconst  11716  climuni  11719  climcau  11773  serf0  11778  fsumparts  11896  isum1p  11918  isumrpcl  11920  cvgratz  11958  mertenslemi1  11961  ntrivcvgap0  11975  fprodabs  12042  eftlub  12116  bitsfzo  12381  bitsinv1  12388  ialgr0  12481  eucalg  12496  pw2dvds  12603  eulerthlemrprm  12666  oddprm  12697  pcfac  12788  pcbc  12789  ennnfonelem1  12893  gsumfzconst  13792  lmconst  14803  2logb9irr  15558  sqrt2cxp2logb9e3  15562  2logb9irrap  15564  lgseisenlem4  15665  lgsquadlem1  15669  lgsquad2  15675  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemlt1  16182