ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzid GIF version

Theorem uzid 8968
Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzid (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzid
StepHypRef Expression
1 zre 8690 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 7936 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32ancli 316 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀))
4 eluz1 8958 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀)))
53, 4mpbird 165 1 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436   class class class wbr 3822  cfv 4983  cle 7470  cz 8686  cuz 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-pre-ltirr 7404
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-ov 5618  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-neg 7603  df-z 8687  df-uz 8955
This theorem is referenced by:  uzn0  8969  uz11  8976  eluzfz1  9380  eluzfz2  9381  elfz3  9383  elfz1end  9404  fzssp1  9415  fzpred  9417  fzp1ss  9420  fzpr  9424  fztp  9425  elfz0add  9465  fzolb  9495  zpnn0elfzo  9549  fzosplitsnm1  9551  fzofzp1  9569  fzosplitsn  9575  fzostep1  9579  frec2uzuzd  9740  frecuzrdgrrn  9746  frec2uzrdg  9747  frecuzrdgrcl  9748  frecuzrdgsuc  9752  frecuzrdgrclt  9753  frecuzrdgg  9754  frecuzrdgsuctlem  9761  uzsinds  9779  iseqvalt  9804  iseq1  9805  iseq1t  9806  iseqfcl  9808  iseqfclt  9809  iseqcl  9811  iseqp1  9812  iseqp1t  9813  iseqfveq  9822  iseq1p  9833  iseqcaopr3  9834  iseqf1olemjpcl  9848  iseqf1olemqpcl  9849  iseqf1oleml  9856  iseqf1o  9857  iseqhomo  9864  faclbnd3  10069  bcm1k  10086  bcn2  10090  iseqcoll  10165  rexuz3  10340  r19.2uz  10343  resqrexlemcvg  10369  resqrexlemgt0  10370  resqrexlemoverl  10371  cau3lem  10464  caubnd2  10467  climconst  10594  climuni  10597  climcau  10650  serif0  10655  zsupcllemstep  10866  zsupcllemex  10867  ialgr0  10951  eucialg  10966  pw2dvds  11069
  Copyright terms: Public domain W3C validator