Theorem uzid 9501

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9216	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8433	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 321	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9491	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  uzn0  9502  uz11  9509  eluzfz1  9987  eluzfz2  9988  elfz3  9990  elfz1end  10011  fzssp1  10023  fzpred  10026  fzp1ss  10029  fzpr  10033  fztp  10034  elfz0add  10076  fzolb  10109  zpnn0elfzo  10163  fzosplitsnm1  10165  fzofzp1  10183  fzosplitsn  10189  fzostep1  10193  frec2uzuzd  10358  frecuzrdgrrn  10364  frec2uzrdg  10365  frecuzrdgrcl  10366  frecuzrdgsuc  10370  frecuzrdgrclt  10371  frecuzrdgg  10372  frecuzrdgsuctlem  10379  uzsinds  10398  seq3val  10414  seqvalcd  10415  seq3-1  10416  seqf  10417  seq3p1  10418  seq3fveq  10427  seq3-1p  10436  seq3caopr3  10437  iseqf1olemjpcl  10451  iseqf1olemqpcl  10452  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  seq3homo  10466  faclbnd3  10677  bcm1k  10694  bcn2  10698  seq3coll  10777  rexuz3  10954  r19.2uz  10957  resqrexlemcvg  10983  resqrexlemgt0  10984  resqrexlemoverl  10985  cau3lem  11078  caubnd2  11081  climconst  11253  climuni  11256  climcau  11310  serf0  11315  fsumparts  11433  isum1p  11455  isumrpcl  11457  cvgratz  11495  mertenslemi1  11498  ntrivcvgap0  11512  fprodabs  11579  eftlub  11653  zsupcllemstep  11900  zsupcllemex  11901  ialgr0  11998  eucalg  12013  pw2dvds  12120  eulerthlemrprm  12183  oddprm  12213  pcfac  12302  pcbc  12303  ennnfonelem1  12362  lmconst  13010  2logb9irr  13683  sqrt2cxp2logb9e3  13687  2logb9irrap  13689  cvgcmp2nlemabs  14064  trilpolemlt1  14073