Theorem uzid 9919

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9631	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8836	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9908	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375   ≤ cle 8355  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltirr 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-neg 8494  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by:  uzidd  9920  uzn0  9921  uz11  9928  eluzfz1  10418  eluzfz2  10419  elfz3  10421  elfz1end  10444  fzssp1  10456  fzpred  10460  fzp1ss  10463  fzpr  10467  fztp  10468  elfz0add  10510  fzolb  10544  zpnn0elfzo  10608  fzosplitsnm1  10610  fzofzp1  10628  fzosplitsn  10634  fzostep1  10639  zsupcllemstep  10645  zsupcllemex  10646  frec2uzuzd  10822  frecuzrdgrrn  10828  frec2uzrdg  10829  frecuzrdgrcl  10830  frecuzrdgsuc  10834  frecuzrdgrclt  10835  frecuzrdgg  10836  frecuzrdgsuctlem  10843  uzsinds  10864  seq3val  10880  seqvalcd  10881  seq3-1  10882  seqf  10884  seq3p1  10885  seq3fveq  10899  seq3-1p  10910  seq3caopr3  10911  iseqf1olemjpcl  10928  iseqf1olemqpcl  10929  seq3f1oleml  10936  seq3f1o  10937  seq3homo  10947  faclbnd3  11164  bcm1k  11181  bcn2  11185  seq3coll  11277  swrds1  11423  pfxccatpfx2  11492  rexuz3  11739  r19.2uz  11742  resqrexlemcvg  11768  resqrexlemgt0  11769  resqrexlemoverl  11770  cau3lem  11863  caubnd2  11866  climconst  12039  climuni  12042  climcau  12096  serf0  12101  fsumparts  12220  isum1p  12242  isumrpcl  12244  cvgratz  12282  mertenslemi1  12285  ntrivcvgap0  12299  fprodabs  12366  eftlub  12440  bitsfzo  12705  bitsinv1  12712  ialgr0  12805  eucalg  12820  pw2dvds  12927  eulerthlemrprm  12990  oddprm  13021  pcfac  13112  pcbc  13113  ballotfilemfp1  13214  ennnfonelem1  13281  gzsumconst  14126  lmconst  15300  2logb9irr  16056  sqrt2cxp2logb9e3  16060  2logb9irrap  16062  lgseisenlem4  16175  lgsquadlem1  16179  lgsquad2  16185  cvgcmp2nlemabs  17055  trilpolemlt1  17064