ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzid GIF version

Theorem uzid 9363
Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzid (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzid
StepHypRef Expression
1 zre 9081 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 8299 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32ancli 321 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀))
4 eluz1 9353 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀)))
53, 4mpbird 166 1 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481   class class class wbr 3936  cfv 5130  cle 7824  cz 9077  cuz 9349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-ov 5784  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-neg 7959  df-z 9078  df-uz 9350
This theorem is referenced by:  uzn0  9364  uz11  9371  eluzfz1  9841  eluzfz2  9842  elfz3  9844  elfz1end  9865  fzssp1  9877  fzpred  9880  fzp1ss  9883  fzpr  9887  fztp  9888  elfz0add  9930  fzolb  9960  zpnn0elfzo  10014  fzosplitsnm1  10016  fzofzp1  10034  fzosplitsn  10040  fzostep1  10044  frec2uzuzd  10205  frecuzrdgrrn  10211  frec2uzrdg  10212  frecuzrdgrcl  10213  frecuzrdgsuc  10217  frecuzrdgrclt  10218  frecuzrdgg  10219  frecuzrdgsuctlem  10226  uzsinds  10245  seq3val  10261  seqvalcd  10262  seq3-1  10263  seqf  10264  seq3p1  10265  seq3fveq  10274  seq3-1p  10283  seq3caopr3  10284  iseqf1olemjpcl  10298  iseqf1olemqpcl  10299  seq3f1oleml  10306  seq3f1o  10307  seq3homo  10313  faclbnd3  10520  bcm1k  10537  bcn2  10541  seq3coll  10616  rexuz3  10793  r19.2uz  10796  resqrexlemcvg  10822  resqrexlemgt0  10823  resqrexlemoverl  10824  cau3lem  10917  caubnd2  10920  climconst  11090  climuni  11093  climcau  11147  serf0  11152  fsumparts  11270  isum1p  11292  isumrpcl  11294  cvgratz  11332  mertenslemi1  11335  ntrivcvgap0  11349  eftlub  11431  zsupcllemstep  11672  zsupcllemex  11673  ialgr0  11759  eucalg  11774  pw2dvds  11878  ennnfonelem1  11954  lmconst  12422  2logb9irr  13094  sqrt2cxp2logb9e3  13098  2logb9irrap  13100  cvgcmp2nlemabs  13400  trilpolemlt1  13407
  Copyright terms: Public domain W3C validator