Theorem uzid 9480

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9195	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8412	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 321	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9470	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188   ≤ cle 7934  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  uzn0  9481  uz11  9488  eluzfz1  9966  eluzfz2  9967  elfz3  9969  elfz1end  9990  fzssp1  10002  fzpred  10005  fzp1ss  10008  fzpr  10012  fztp  10013  elfz0add  10055  fzolb  10088  zpnn0elfzo  10142  fzosplitsnm1  10144  fzofzp1  10162  fzosplitsn  10168  fzostep1  10172  frec2uzuzd  10337  frecuzrdgrrn  10343  frec2uzrdg  10344  frecuzrdgrcl  10345  frecuzrdgsuc  10349  frecuzrdgrclt  10350  frecuzrdgg  10351  frecuzrdgsuctlem  10358  uzsinds  10377  seq3val  10393  seqvalcd  10394  seq3-1  10395  seqf  10396  seq3p1  10397  seq3fveq  10406  seq3-1p  10415  seq3caopr3  10416  iseqf1olemjpcl  10430  iseqf1olemqpcl  10431  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  seq3homo  10445  faclbnd3  10656  bcm1k  10673  bcn2  10677  seq3coll  10755  rexuz3  10932  r19.2uz  10935  resqrexlemcvg  10961  resqrexlemgt0  10962  resqrexlemoverl  10963  cau3lem  11056  caubnd2  11059  climconst  11231  climuni  11234  climcau  11288  serf0  11293  fsumparts  11411  isum1p  11433  isumrpcl  11435  cvgratz  11473  mertenslemi1  11476  ntrivcvgap0  11490  fprodabs  11557  eftlub  11631  zsupcllemstep  11878  zsupcllemex  11879  ialgr0  11976  eucalg  11991  pw2dvds  12098  eulerthlemrprm  12161  oddprm  12191  pcfac  12280  pcbc  12281  ennnfonelem1  12340  lmconst  12856  2logb9irr  13529  sqrt2cxp2logb9e3  13533  2logb9irrap  13535  cvgcmp2nlemabs  13911  trilpolemlt1  13920