Theorem uzid 9770

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9483	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8694	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9759	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  uzidd  9771  uzn0  9772  uz11  9779  eluzfz1  10266  eluzfz2  10267  elfz3  10269  elfz1end  10290  fzssp1  10302  fzpred  10305  fzp1ss  10308  fzpr  10312  fztp  10313  elfz0add  10355  fzolb  10389  zpnn0elfzo  10453  fzosplitsnm1  10455  fzofzp1  10473  fzosplitsn  10479  fzostep1  10484  zsupcllemstep  10490  zsupcllemex  10491  frec2uzuzd  10665  frecuzrdgrrn  10671  frec2uzrdg  10672  frecuzrdgrcl  10673  frecuzrdgsuc  10677  frecuzrdgrclt  10678  frecuzrdgg  10679  frecuzrdgsuctlem  10686  uzsinds  10707  seq3val  10723  seqvalcd  10724  seq3-1  10725  seqf  10727  seq3p1  10728  seq3fveq  10742  seq3-1p  10753  seq3caopr3  10754  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  seq3f1oleml  10779  seq3f1o  10780  seq3homo  10790  faclbnd3  11006  bcm1k  11023  bcn2  11027  seq3coll  11107  swrds1  11250  pfxccatpfx2  11319  rexuz3  11552  r19.2uz  11555  resqrexlemcvg  11581  resqrexlemgt0  11582  resqrexlemoverl  11583  cau3lem  11676  caubnd2  11679  climconst  11852  climuni  11855  climcau  11909  serf0  11914  fsumparts  12033  isum1p  12055  isumrpcl  12057  cvgratz  12095  mertenslemi1  12098  ntrivcvgap0  12112  fprodabs  12179  eftlub  12253  bitsfzo  12518  bitsinv1  12525  ialgr0  12618  eucalg  12633  pw2dvds  12740  eulerthlemrprm  12803  oddprm  12834  pcfac  12925  pcbc  12926  ennnfonelem1  13030  gsumfzconst  13930  lmconst  14943  2logb9irr  15698  sqrt2cxp2logb9e3  15702  2logb9irrap  15704  lgseisenlem4  15805  lgsquadlem1  15809  lgsquad2  15815  cvgcmp2nlemabs  16657  trilpolemlt1  16666