Theorem uzid 9634

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9349	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8560	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9624	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8081  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  uzidd  9635  uzn0  9636  uz11  9643  eluzfz1  10125  eluzfz2  10126  elfz3  10128  elfz1end  10149  fzssp1  10161  fzpred  10164  fzp1ss  10167  fzpr  10171  fztp  10172  elfz0add  10214  fzolb  10248  zpnn0elfzo  10302  fzosplitsnm1  10304  fzofzp1  10322  fzosplitsn  10328  fzostep1  10332  zsupcllemstep  10338  zsupcllemex  10339  frec2uzuzd  10513  frecuzrdgrrn  10519  frec2uzrdg  10520  frecuzrdgrcl  10521  frecuzrdgsuc  10525  frecuzrdgrclt  10526  frecuzrdgg  10527  frecuzrdgsuctlem  10534  uzsinds  10555  seq3val  10571  seqvalcd  10572  seq3-1  10573  seqf  10575  seq3p1  10576  seq3fveq  10590  seq3-1p  10601  seq3caopr3  10602  iseqf1olemjpcl  10619  iseqf1olemqpcl  10620  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  seq3homo  10638  faclbnd3  10854  bcm1k  10871  bcn2  10875  seq3coll  10953  rexuz3  11174  r19.2uz  11177  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemgt0  11204  resqrexlemoverl  11205  cau3lem  11298  caubnd2  11301  climconst  11474  climuni  11477  climcau  11531  serf0  11536  fsumparts  11654  isum1p  11676  isumrpcl  11678  cvgratz  11716  mertenslemi1  11719  ntrivcvgap0  11733  fprodabs  11800  eftlub  11874  bitsfzo  12139  bitsinv1  12146  ialgr0  12239  eucalg  12254  pw2dvds  12361  eulerthlemrprm  12424  oddprm  12455  pcfac  12546  pcbc  12547  ennnfonelem1  12651  gsumfzconst  13549  lmconst  14560  2logb9irr  15315  sqrt2cxp2logb9e3  15319  2logb9irrap  15321  lgseisenlem4  15422  lgsquadlem1  15426  lgsquad2  15432  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemlt1  15798