Theorem uzid 9471

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9186	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8403	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 321	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9461	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182   ≤ cle 7925  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-pre-ltirr 7856

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-neg 8063  df-z 9183  df-uz 9458

This theorem is referenced by:  uzn0  9472  uz11  9479  eluzfz1  9956  eluzfz2  9957  elfz3  9959  elfz1end  9980  fzssp1  9992  fzpred  9995  fzp1ss  9998  fzpr  10002  fztp  10003  elfz0add  10045  fzolb  10078  zpnn0elfzo  10132  fzosplitsnm1  10134  fzofzp1  10152  fzosplitsn  10158  fzostep1  10162  frec2uzuzd  10327  frecuzrdgrrn  10333  frec2uzrdg  10334  frecuzrdgrcl  10335  frecuzrdgsuc  10339  frecuzrdgrclt  10340  frecuzrdgg  10341  frecuzrdgsuctlem  10348  uzsinds  10367  seq3val  10383  seqvalcd  10384  seq3-1  10385  seqf  10386  seq3p1  10387  seq3fveq  10396  seq3-1p  10405  seq3caopr3  10406  iseqf1olemjpcl  10420  iseqf1olemqpcl  10421  seq3f1oleml  10428  seq3f1o  10429  seq3homo  10435  faclbnd3  10645  bcm1k  10662  bcn2  10666  seq3coll  10741  rexuz3  10918  r19.2uz  10921  resqrexlemcvg  10947  resqrexlemgt0  10948  resqrexlemoverl  10949  cau3lem  11042  caubnd2  11045  climconst  11217  climuni  11220  climcau  11274  serf0  11279  fsumparts  11397  isum1p  11419  isumrpcl  11421  cvgratz  11459  mertenslemi1  11462  ntrivcvgap0  11476  fprodabs  11543  eftlub  11617  zsupcllemstep  11863  zsupcllemex  11864  ialgr0  11955  eucalg  11970  pw2dvds  12075  eulerthlemrprm  12138  oddprm  12168  pcfac  12257  pcbc  12258  ennnfonelem1  12277  lmconst  12757  2logb9irr  13430  sqrt2cxp2logb9e3  13434  2logb9irrap  13436  cvgcmp2nlemabs  13745  trilpolemlt1  13754