Theorem uzid 9753

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9466	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8677	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9742	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321   ≤ cle 8198  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-pre-ltirr 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-neg 8336  df-z 9463  df-uz 9739

This theorem is referenced by:  uzidd  9754  uzn0  9755  uz11  9762  eluzfz1  10244  eluzfz2  10245  elfz3  10247  elfz1end  10268  fzssp1  10280  fzpred  10283  fzp1ss  10286  fzpr  10290  fztp  10291  elfz0add  10333  fzolb  10367  zpnn0elfzo  10430  fzosplitsnm1  10432  fzofzp1  10450  fzosplitsn  10456  fzostep1  10460  zsupcllemstep  10466  zsupcllemex  10467  frec2uzuzd  10641  frecuzrdgrrn  10647  frec2uzrdg  10648  frecuzrdgrcl  10649  frecuzrdgsuc  10653  frecuzrdgrclt  10654  frecuzrdgg  10655  frecuzrdgsuctlem  10662  uzsinds  10683  seq3val  10699  seqvalcd  10700  seq3-1  10701  seqf  10703  seq3p1  10704  seq3fveq  10718  seq3-1p  10729  seq3caopr3  10730  iseqf1olemjpcl  10747  iseqf1olemqpcl  10748  seq3f1oleml  10755  seq3f1o  10756  seq3homo  10766  faclbnd3  10982  bcm1k  10999  bcn2  11003  seq3coll  11082  swrds1  11221  pfxccatpfx2  11290  rexuz3  11522  r19.2uz  11525  resqrexlemcvg  11551  resqrexlemgt0  11552  resqrexlemoverl  11553  cau3lem  11646  caubnd2  11649  climconst  11822  climuni  11825  climcau  11879  serf0  11884  fsumparts  12002  isum1p  12024  isumrpcl  12026  cvgratz  12064  mertenslemi1  12067  ntrivcvgap0  12081  fprodabs  12148  eftlub  12222  bitsfzo  12487  bitsinv1  12494  ialgr0  12587  eucalg  12602  pw2dvds  12709  eulerthlemrprm  12772  oddprm  12803  pcfac  12894  pcbc  12895  ennnfonelem1  12999  gsumfzconst  13899  lmconst  14911  2logb9irr  15666  sqrt2cxp2logb9e3  15670  2logb9irrap  15672  lgseisenlem4  15773  lgsquadlem1  15777  lgsquad2  15783  cvgcmp2nlemabs  16514  trilpolemlt1  16523