Theorem uzid 9775

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9488	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8699	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9764	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-pre-ltirr 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-neg 8358  df-z 9485  df-uz 9761

This theorem is referenced by:  uzidd  9776  uzn0  9777  uz11  9784  eluzfz1  10271  eluzfz2  10272  elfz3  10274  elfz1end  10295  fzssp1  10307  fzpred  10310  fzp1ss  10313  fzpr  10317  fztp  10318  elfz0add  10360  fzolb  10394  zpnn0elfzo  10458  fzosplitsnm1  10460  fzofzp1  10478  fzosplitsn  10484  fzostep1  10489  zsupcllemstep  10495  zsupcllemex  10496  frec2uzuzd  10670  frecuzrdgrrn  10676  frec2uzrdg  10677  frecuzrdgrcl  10678  frecuzrdgsuc  10682  frecuzrdgrclt  10683  frecuzrdgg  10684  frecuzrdgsuctlem  10691  uzsinds  10712  seq3val  10728  seqvalcd  10729  seq3-1  10730  seqf  10732  seq3p1  10733  seq3fveq  10747  seq3-1p  10758  seq3caopr3  10759  iseqf1olemjpcl  10776  iseqf1olemqpcl  10777  seq3f1oleml  10784  seq3f1o  10785  seq3homo  10795  faclbnd3  11011  bcm1k  11028  bcn2  11032  seq3coll  11112  swrds1  11258  pfxccatpfx2  11327  rexuz3  11573  r19.2uz  11576  resqrexlemcvg  11602  resqrexlemgt0  11603  resqrexlemoverl  11604  cau3lem  11697  caubnd2  11700  climconst  11873  climuni  11876  climcau  11930  serf0  11935  fsumparts  12054  isum1p  12076  isumrpcl  12078  cvgratz  12116  mertenslemi1  12119  ntrivcvgap0  12133  fprodabs  12200  eftlub  12274  bitsfzo  12539  bitsinv1  12546  ialgr0  12639  eucalg  12654  pw2dvds  12761  eulerthlemrprm  12824  oddprm  12855  pcfac  12946  pcbc  12947  ennnfonelem1  13051  gsumfzconst  13951  lmconst  14969  2logb9irr  15724  sqrt2cxp2logb9e3  15728  2logb9irrap  15730  lgseisenlem4  15831  lgsquadlem1  15835  lgsquad2  15841  cvgcmp2nlemabs  16703  trilpolemlt1  16712