Theorem uzid 9515

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9230	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8445	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9505	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208   ≤ cle 7967  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-ltirr 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-ov 5868  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-neg 8105  df-z 9227  df-uz 9502

This theorem is referenced by:  uzn0  9516  uz11  9523  eluzfz1  10001  eluzfz2  10002  elfz3  10004  elfz1end  10025  fzssp1  10037  fzpred  10040  fzp1ss  10043  fzpr  10047  fztp  10048  elfz0add  10090  fzolb  10123  zpnn0elfzo  10177  fzosplitsnm1  10179  fzofzp1  10197  fzosplitsn  10203  fzostep1  10207  frec2uzuzd  10372  frecuzrdgrrn  10378  frec2uzrdg  10379  frecuzrdgrcl  10380  frecuzrdgsuc  10384  frecuzrdgrclt  10385  frecuzrdgg  10386  frecuzrdgsuctlem  10393  uzsinds  10412  seq3val  10428  seqvalcd  10429  seq3-1  10430  seqf  10431  seq3p1  10432  seq3fveq  10441  seq3-1p  10450  seq3caopr3  10451  iseqf1olemjpcl  10465  iseqf1olemqpcl  10466  seq3f1oleml  10473  seq3f1o  10474  seq3homo  10480  faclbnd3  10691  bcm1k  10708  bcn2  10712  seq3coll  10790  rexuz3  10967  r19.2uz  10970  resqrexlemcvg  10996  resqrexlemgt0  10997  resqrexlemoverl  10998  cau3lem  11091  caubnd2  11094  climconst  11266  climuni  11269  climcau  11323  serf0  11328  fsumparts  11446  isum1p  11468  isumrpcl  11470  cvgratz  11508  mertenslemi1  11511  ntrivcvgap0  11525  fprodabs  11592  eftlub  11666  zsupcllemstep  11913  zsupcllemex  11914  ialgr0  12011  eucalg  12026  pw2dvds  12133  eulerthlemrprm  12196  oddprm  12226  pcfac  12315  pcbc  12316  ennnfonelem1  12375  lmconst  13287  2logb9irr  13960  sqrt2cxp2logb9e3  13964  2logb9irrap  13966  cvgcmp2nlemabs  14341  trilpolemlt1  14350