Theorem uzid 9662

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9376	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8587	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9652	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271   ≤ cle 8108  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  uzidd  9663  uzn0  9664  uz11  9671  eluzfz1  10153  eluzfz2  10154  elfz3  10156  elfz1end  10177  fzssp1  10189  fzpred  10192  fzp1ss  10195  fzpr  10199  fztp  10200  elfz0add  10242  fzolb  10276  zpnn0elfzo  10336  fzosplitsnm1  10338  fzofzp1  10356  fzosplitsn  10362  fzostep1  10366  zsupcllemstep  10372  zsupcllemex  10373  frec2uzuzd  10547  frecuzrdgrrn  10553  frec2uzrdg  10554  frecuzrdgrcl  10555  frecuzrdgsuc  10559  frecuzrdgrclt  10560  frecuzrdgg  10561  frecuzrdgsuctlem  10568  uzsinds  10589  seq3val  10605  seqvalcd  10606  seq3-1  10607  seqf  10609  seq3p1  10610  seq3fveq  10624  seq3-1p  10635  seq3caopr3  10636  iseqf1olemjpcl  10653  iseqf1olemqpcl  10654  seq3f1oleml  10661  seq3f1o  10662  seq3homo  10672  faclbnd3  10888  bcm1k  10905  bcn2  10909  seq3coll  10987  swrds1  11121  rexuz3  11301  r19.2uz  11304  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemgt0  11331  resqrexlemoverl  11332  cau3lem  11425  caubnd2  11428  climconst  11601  climuni  11604  climcau  11658  serf0  11663  fsumparts  11781  isum1p  11803  isumrpcl  11805  cvgratz  11843  mertenslemi1  11846  ntrivcvgap0  11860  fprodabs  11927  eftlub  12001  bitsfzo  12266  bitsinv1  12273  ialgr0  12366  eucalg  12381  pw2dvds  12488  eulerthlemrprm  12551  oddprm  12582  pcfac  12673  pcbc  12674  ennnfonelem1  12778  gsumfzconst  13677  lmconst  14688  2logb9irr  15443  sqrt2cxp2logb9e3  15447  2logb9irrap  15449  lgseisenlem4  15550  lgsquadlem1  15554  lgsquad2  15560  cvgcmp2nlemabs  15975  trilpolemlt1  15984