Theorem uzid 9632

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9347	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8558	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9622	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltirr 8008

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  uzidd  9633  uzn0  9634  uz11  9641  eluzfz1  10123  eluzfz2  10124  elfz3  10126  elfz1end  10147  fzssp1  10159  fzpred  10162  fzp1ss  10165  fzpr  10169  fztp  10170  elfz0add  10212  fzolb  10246  zpnn0elfzo  10300  fzosplitsnm1  10302  fzofzp1  10320  fzosplitsn  10326  fzostep1  10330  zsupcllemstep  10336  zsupcllemex  10337  frec2uzuzd  10511  frecuzrdgrrn  10517  frec2uzrdg  10518  frecuzrdgrcl  10519  frecuzrdgsuc  10523  frecuzrdgrclt  10524  frecuzrdgg  10525  frecuzrdgsuctlem  10532  uzsinds  10553  seq3val  10569  seqvalcd  10570  seq3-1  10571  seqf  10573  seq3p1  10574  seq3fveq  10588  seq3-1p  10599  seq3caopr3  10600  iseqf1olemjpcl  10617  iseqf1olemqpcl  10618  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  seq3homo  10636  faclbnd3  10852  bcm1k  10869  bcn2  10873  seq3coll  10951  rexuz3  11172  r19.2uz  11175  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemgt0  11202  resqrexlemoverl  11203  cau3lem  11296  caubnd2  11299  climconst  11472  climuni  11475  climcau  11529  serf0  11534  fsumparts  11652  isum1p  11674  isumrpcl  11676  cvgratz  11714  mertenslemi1  11717  ntrivcvgap0  11731  fprodabs  11798  eftlub  11872  bitsfzo  12137  bitsinv1  12144  ialgr0  12237  eucalg  12252  pw2dvds  12359  eulerthlemrprm  12422  oddprm  12453  pcfac  12544  pcbc  12545  ennnfonelem1  12649  gsumfzconst  13547  lmconst  14536  2logb9irr  15291  sqrt2cxp2logb9e3  15295  2logb9irrap  15297  lgseisenlem4  15398  lgsquadlem1  15402  lgsquad2  15408  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemlt1  15772