Theorem uzid 9763

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9476	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8687	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9752	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324   ≤ cle 8208  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-pre-ltirr 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-neg 8346  df-z 9473  df-uz 9749

This theorem is referenced by:  uzidd  9764  uzn0  9765  uz11  9772  eluzfz1  10259  eluzfz2  10260  elfz3  10262  elfz1end  10283  fzssp1  10295  fzpred  10298  fzp1ss  10301  fzpr  10305  fztp  10306  elfz0add  10348  fzolb  10382  zpnn0elfzo  10445  fzosplitsnm1  10447  fzofzp1  10465  fzosplitsn  10471  fzostep1  10476  zsupcllemstep  10482  zsupcllemex  10483  frec2uzuzd  10657  frecuzrdgrrn  10663  frec2uzrdg  10664  frecuzrdgrcl  10665  frecuzrdgsuc  10669  frecuzrdgrclt  10670  frecuzrdgg  10671  frecuzrdgsuctlem  10678  uzsinds  10699  seq3val  10715  seqvalcd  10716  seq3-1  10717  seqf  10719  seq3p1  10720  seq3fveq  10734  seq3-1p  10745  seq3caopr3  10746  iseqf1olemjpcl  10763  iseqf1olemqpcl  10764  seq3f1oleml  10771  seq3f1o  10772  seq3homo  10782  faclbnd3  10998  bcm1k  11015  bcn2  11019  seq3coll  11099  swrds1  11242  pfxccatpfx2  11311  rexuz3  11544  r19.2uz  11547  resqrexlemcvg  11573  resqrexlemgt0  11574  resqrexlemoverl  11575  cau3lem  11668  caubnd2  11671  climconst  11844  climuni  11847  climcau  11901  serf0  11906  fsumparts  12024  isum1p  12046  isumrpcl  12048  cvgratz  12086  mertenslemi1  12089  ntrivcvgap0  12103  fprodabs  12170  eftlub  12244  bitsfzo  12509  bitsinv1  12516  ialgr0  12609  eucalg  12624  pw2dvds  12731  eulerthlemrprm  12794  oddprm  12825  pcfac  12916  pcbc  12917  ennnfonelem1  13021  gsumfzconst  13921  lmconst  14933  2logb9irr  15688  sqrt2cxp2logb9e3  15692  2logb9irrap  15694  lgseisenlem4  15795  lgsquadlem1  15799  lgsquad2  15805  cvgcmp2nlemabs  16586  trilpolemlt1  16595