Theorem uzid 9946

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9653	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8844	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 323	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 9935	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377   ≤ cle 8362  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  uzidd  9947  uzn0  9948  uz11  9955  eluzfz1  10446  eluzfz2  10447  elfz3  10449  elfz1end  10472  fzssp1  10484  fzpred  10488  fzp1ss  10491  fzpr  10495  fztp  10496  elfz0add  10538  fzolb  10572  zpnn0elfzo  10636  fzosplitsnm1  10638  fzofzp1  10656  fzosplitsn  10662  fzostep1  10667  zsupcllemstep  10673  zsupcllemex  10674  frec2uzuzd  10853  frecuzrdgrrn  10859  frec2uzrdg  10860  frecuzrdgrcl  10861  frecuzrdgsuc  10865  frecuzrdgrclt  10866  frecuzrdgg  10867  frecuzrdgsuctlem  10874  uzsinds  10895  seq3val  10911  seqvalcd  10912  seq3-1  10913  seqf  10915  seq3p1  10916  seq3fveq  10930  seq3-1p  10941  seq3caopr3  10942  iseqf1olemjpcl  10959  iseqf1olemqpcl  10960  seq3f1oleml  10967  seq3f1o  10968  seq3homo  10978  faclbnd3  11196  bcm1k  11213  bcn2  11217  seq3coll  11309  swrds1  11455  pfxccatpfx2  11524  rexuz3  11771  r19.2uz  11774  resqrexlemcvg  11800  resqrexlemgt0  11801  resqrexlemoverl  11802  cau3lem  11896  caubnd2  11899  climconst  12074  climuni  12077  climcau  12131  serf0  12136  fsumparts  12255  isum1p  12277  isumrpcl  12279  cvgratz  12317  mertenslemi1  12320  ntrivcvgap0  12334  fprodabs  12401  eftlub  12475  bitsfzo  12740  bitsinv1  12747  ialgr0  12840  eucalg  12855  oddpwdc  12972  eulerthlemrprm  13029  oddprm  13060  pcfac  13151  pcbc  13152  prmlem0  13242  ballotfilemfp1  13282  ennnfonelem1  13349  gzsumconst  14194  lmconst  15369  2logb9irr  16129  sqrt2cxp2logb9e3  16133  2logb9irrap  16135  ppinprm  16182  chtnprm  16184  ppiublem1  16213  chtqub  16218  lgseisenlem4  16314  lgsquadlem1  16318  lgsquad2  16324  cvgcmp2nlemabs  17203  trilpolemlt1  17212