Theorem eluzfz1 10328

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9821	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9831	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 10317	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 422	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816  ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  elfz3  10331  fzm  10335  fzopth  10358  fz01or  10408  exfzdc  10549  seq3clss  10796  seqfveqg  10803  seq3fveq  10804  seq3shft2  10806  seqshft2g  10807  monoord  10810  monoord2  10811  seqcaopr3g  10817  iseqf1olemqk  10832  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemp  10840  seqf1oglem2a  10843  seqf1oglem2  10845  seq3id3  10849  seqhomog  10855  ser3ge0  10861  seq3coll  11169  pfxwrdsymbg  11337  fsum1p  12059  telfsumo  12107  telfsumo2  12108  fsumparts  12111  mertenslem2  12177  prodfap0  12186  prodfrecap  12187  fprod1p  12240  phicl2  12866  4sqlem19  13062  gsum0g  13559  gsumsplit1r  13561  gsumfzz  13658  gsumfzfsumlemm  14683  wlkvtxm  16281  eupth2lem3lem4fi  16414  inffz  16805