Theorem enct 13115

Description: Countability is invariant relative to equinumerosity. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enct	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Proof of Theorem enct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enctlem 13114	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2		ensym 6998	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
3		enctlem 13114	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
5	1, 4	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1541   class class class wbr 4093  ωcom 4694  –onto→wfo 5331  1_oc1o 6618   ≈ cen 6950   ⊔ cdju 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dju 7280  df-inl 7289  df-inr 7290

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  13128