Theorem enct 13059

Description: Countability is invariant relative to equinumerosity. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enct	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Proof of Theorem enct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enctlem 13058	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2		ensym 6955	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
3		enctlem 13058	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
5	1, 4	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1540   class class class wbr 4088  ωcom 4688  –onto→wfo 5324  1_oc1o 6575   ≈ cen 6907   ⊔ cdju 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dju 7237  df-inl 7246  df-inr 7247

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  13072