Theorem enct 12854

Description: Countability is invariant relative to equinumerosity. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enct	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Proof of Theorem enct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enctlem 12853	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2		ensym 6883	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
3		enctlem 12853	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
5	1, 4	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1516   class class class wbr 4048  ωcom 4643  –onto→wfo 5275  1_oc1o 6505   ≈ cen 6835   ⊔ cdju 7151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-1o 6512  df-er 6630  df-en 6838  df-dju 7152  df-inl 7161  df-inr 7162

This theorem is referenced by:  ssnnctlemct  12867