Theorem hashun 11061

Description: The size of the union of disjoint finite sets is the sum of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6929	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
8		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
10		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	omgadd 11058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
12	8, 9, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
13		nnacl 6643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ ω)
14	8, 9, 13	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ ω)
15		enrefg 6932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
17		hashennn 11035	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω ∧ (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)))
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)))
19		vex 2803	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑛 ∈ V
20	19	enref 6933	. . . . . . 7 ⊢ 𝑛 ≈ 𝑛
21		hashennn 11035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝑛) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
22	8, 20, 21	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
23		vex 2803	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑚 ∈ V
24	23	enref 6933	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ≈ 𝑚
25		hashennn 11035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝑚) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
26	9, 24, 25	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
27	22, 26	oveq12d 6031	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
28	12, 18, 27	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
29		simpll1 1060	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simpll2 1061	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ∈ Fin)
31		simpll3 1062	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
34	29, 30, 31, 8, 9, 32, 33	hashunlem 11060	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
35		unfidisj 7109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
36	35	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
37		nnfi 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
38	13, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
39	8, 9, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
40		hashen 11039	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚)))
41	36, 39, 40	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚)))
42	34, 41	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)))
43		nnfi 7054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ Fin)
44	8, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ Fin)
45		hashen 11039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
46	29, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
47	32, 46	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝑛))
48		nnfi 7054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
49	9, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
50		hashen 11039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
51	30, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
52	33, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝑚))
53	47, 52	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
54	28, 42, 53	3eqtr4d 2272	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
55	7, 54	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
56	3, 55	rexlimddv 2653	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ∪ cun 3196   ∩ cin 3197  ∅c0 3492   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ωcom 4686  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  freccfrec 6551   +_o coa 6574   ≈ cen 6902  Fincfn 6904  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028  ℤcz 9472  ♯chash 11030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-ihash 11031

This theorem is referenced by:  hashunsng  11064  fihashssdif  11075  hashxp  11083  fsumconst  12008  phiprmpw  12787  4sqlem11  12967  lgsquadlem2  15800  lgsquadlem3  15801  vtxdfifiun  16108