Theorem hashun 10826

Description: The size of the union of disjoint finite sets is the sum of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6791	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant2 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
8		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
10		eqid 2189	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	omgadd 10823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
12	8, 9, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
13		nnacl 6509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ ω)
14	8, 9, 13	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ ω)
15		enrefg 6794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
17		hashennn 10801	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω ∧ (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)))
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)))
19		vex 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑛 ∈ V
20	19	enref 6795	. . . . . . 7 ⊢ 𝑛 ≈ 𝑛
21		hashennn 10801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝑛) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
22	8, 20, 21	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
23		vex 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑚 ∈ V
24	23	enref 6795	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ≈ 𝑚
25		hashennn 10801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝑚) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
26	9, 24, 25	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
27	22, 26	oveq12d 5918	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
28	12, 18, 27	3eqtr4d 2232	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
29		simpll1 1038	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simpll2 1039	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ∈ Fin)
31		simpll3 1040	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
34	29, 30, 31, 8, 9, 32, 33	hashunlem 10825	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
35		unfidisj 6954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
36	35	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
37		nnfi 6904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
38	13, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
39	8, 9, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
40		hashen 10805	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚)))
41	36, 39, 40	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚)))
42	34, 41	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)))
43		nnfi 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ Fin)
44	8, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ Fin)
45		hashen 10805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
46	29, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
47	32, 46	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝑛))
48		nnfi 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
49	9, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
50		hashen 10805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
51	30, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
52	33, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝑚))
53	47, 52	oveq12d 5918	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
54	28, 42, 53	3eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
55	7, 54	rexlimddv 2612	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
56	3, 55	rexlimddv 2612	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469   ∪ cun 3142   ∩ cin 3143  ∅c0 3437   class class class wbr 4021   ↦ cmpt 4082  ωcom 4610  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  freccfrec 6419   +_o coa 6442   ≈ cen 6768  Fincfn 6770  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849  ℤcz 9288  ♯chash 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-ihash 10797

This theorem is referenced by:  hashunsng  10828  fihashssdif  10839  hashxp  10847  fsumconst  11503  phiprmpw  12265  4sqlem11  12444