Theorem hashun 10110

Description: The size of the union of disjoint finite sets is the sum of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 118	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 962	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6430	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 118	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant2 963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7	6	adantr 270	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
8		simplrl 502	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
9		simprl 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
10		eqid 2085	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	omgadd 10107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
12	8, 9, 11	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
13		nnacl 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ ω)
14	8, 9, 13	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ ω)
15		enrefg 6433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +𝑜 𝑚) ≈ (𝑛 +𝑜 𝑚))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +𝑜 𝑚) ≈ (𝑛 +𝑜 𝑚))
17		hashennn 10085	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ ω ∧ (𝑛 +𝑜 𝑚) ≈ (𝑛 +𝑜 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +𝑜 𝑚)))
18	14, 16, 17	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +𝑜 𝑚)))
19		vex 2618	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑛 ∈ V
20	19	enref 6434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑛 ≈ 𝑛
21		hashennn 10085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝑛) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
22	8, 20, 21	sylancl 404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
23		vex 2618	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑚 ∈ V
24	23	enref 6434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ≈ 𝑚
25		hashennn 10085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝑚) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
26	9, 24, 25	sylancl 404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
27	22, 26	oveq12d 5631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
28	12, 18, 27	3eqtr4d 2127	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
29		simpll1 980	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simpll2 981	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ∈ Fin)
31		simpll3 982	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32		simplrr 503	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33		simprr 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
34	29, 30, 31, 8, 9, 32, 33	hashunlem 10109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +𝑜 𝑚))
35		unfidisj 6584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
36	35	ad2antrr 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
37		nnfi 6540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ Fin)
38	13, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ Fin)
39	8, 9, 38	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ Fin)
40		hashen 10089	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝑛 +𝑜 𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +𝑜 𝑚)))
41	36, 39, 40	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +𝑜 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +𝑜 𝑚)))
42	34, 41	mpbird 165	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +𝑜 𝑚)))
43		nnfi 6540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ Fin)
44	8, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ Fin)
45		hashen 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
46	29, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
47	32, 46	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝑛))
48		nnfi 6540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
49	9, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
50		hashen 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
51	30, 49, 50	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
52	33, 51	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝑚))
53	47, 52	oveq12d 5631	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
54	28, 42, 53	3eqtr4d 2127	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
55	7, 54	rexlimddv 2489	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
56	3, 55	rexlimddv 2489	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 922   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∃wrex 2356   ∪ cun 2986   ∩ cin 2987  ∅c0 3275   class class class wbr 3820   ↦ cmpt 3874  ωcom 4378  ‘cfv 4981  (class class class)co 5613  freccfrec 6109   +_𝑜 coa 6132   ≈ cen 6407  Fincfn 6409  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297  ℤcz 8683  ♯chash 10080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-ltadd 7405

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-irdg 6089  df-frec 6110  df-1o 6135  df-oadd 6139  df-er 6244  df-en 6410  df-dom 6411  df-fin 6412  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-ihash 10081

This theorem is referenced by:  hashunsng  10112  fihashssdif  10123  hashxp  10131  phiprmpw  11080