Theorem hashun 11069

Description: The size of the union of disjoint finite sets is the sum of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6934	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant2 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
8		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
9		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
10		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	omgadd 11066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
12	8, 9, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
13		nnacl 6648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ ω)
14	8, 9, 13	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ ω)
15		enrefg 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
17		hashennn 11043	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω ∧ (𝑛 +o 𝑚) ≈ (𝑛 +o 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)))
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘(𝑛 +o 𝑚)))
19		vex 2805	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑛 ∈ V
20	19	enref 6938	. . . . . . 7 ⊢ 𝑛 ≈ 𝑛
21		hashennn 11043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝑛) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
22	8, 20, 21	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
23		vex 2805	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑚 ∈ V
24	23	enref 6938	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ≈ 𝑚
25		hashennn 11043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝑚) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
26	9, 24, 25	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝑚) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
27	22, 26	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)) = ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) + (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
28	12, 18, 27	3eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
29		simpll1 1062	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simpll2 1063	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ∈ Fin)
31		simpll3 1064	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
34	29, 30, 31, 8, 9, 32, 33	hashunlem 11068	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚))
35		unfidisj 7114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
36	35	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
37		nnfi 7059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 +o 𝑚) ∈ ω → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
38	13, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
39	8, 9, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin)
40		hashen 11047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝑛 +o 𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚)))
41	36, 39, 40	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ (𝑛 +o 𝑚)))
42	34, 41	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (♯‘(𝑛 +o 𝑚)))
43		nnfi 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ Fin)
44	8, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ Fin)
45		hashen 11047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
46	29, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝑛) ↔ 𝐴 ≈ 𝑛))
47	32, 46	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝑛))
48		nnfi 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
49	9, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
50		hashen 11047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
51	30, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝑚) ↔ 𝐵 ≈ 𝑚))
52	33, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝑚))
53	47, 52	oveq12d 6036	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑛) + (♯‘𝑚)))
54	28, 42, 53	3eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
55	7, 54	rexlimddv 2655	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
56	3, 55	rexlimddv 2655	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  freccfrec 6556   +_o coa 6579   ≈ cen 6907  Fincfn 6909  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035  ℤcz 9479  ♯chash 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-ihash 11039

This theorem is referenced by:  hashunsng  11072  fihashssdif  11083  hashxp  11091  fsumconst  12017  phiprmpw  12796  4sqlem11  12976  lgsquadlem2  15810  lgsquadlem3  15811  vtxdfifiun  16151