ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashf1rn GIF version

Theorem fihashf1rn 10547
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashf1rn ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem fihashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5330 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 simpl 108 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fnfi 6825 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an2 583 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
5 f1o2ndf1 6125 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
6 df-2nd 6039 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
76funmpt2 5162 . . . . . . . 8 Fun 2nd
8 f1f 5328 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
98anim2i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴𝐵))
109ancomd 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin))
11 fex 5647 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
1210, 11syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
13 resfunexg 5641 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
147, 12, 13sylancr 410 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
15 f1oeq1 5356 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1716eqcoms 2142 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1817adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1914, 18spcimedv 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2120com13 80 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
225, 21mpcom 36 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2322impcom 124 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
24 fihasheqf1oi 10546 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
2524ex 114 . . 3 (𝐹 ∈ Fin → (𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
2625exlimdv 1791 . 2 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
274, 23, 26sylc 62 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527   cuni 3736  ran crn 4540  cres 4541  Fun wfun 5117   Fn wfn 5118  wf 5119  1-1wf1 5120  1-1-ontowf1o 5122  cfv 5123  2nd c2nd 6037  Fincfn 6634  chash 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-ihash 10534
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator