ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashf1rn GIF version

Theorem fihashf1rn 10799
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashf1rn ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem fihashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5442 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 simpl 109 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fnfi 6965 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an2 594 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
5 f1o2ndf1 6252 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
6 df-2nd 6165 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
76funmpt2 5274 . . . . . . . 8 Fun 2nd
8 f1f 5440 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
98anim2i 342 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴𝐵))
109ancomd 267 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin))
11 fex 5765 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
1210, 11syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
13 resfunexg 5757 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
147, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
15 f1oeq1 5468 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1716eqcoms 2192 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1817adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1914, 18spcimedv 2838 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019ex 115 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2120com13 80 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
225, 21mpcom 36 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2322impcom 125 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
24 fihasheqf1oi 10798 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
2524ex 115 . . 3 (𝐹 ∈ Fin → (𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
2625exlimdv 1830 . 2 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
274, 23, 26sylc 62 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2160  Vcvv 2752  {csn 3607   cuni 3824  ran crn 4645  cres 4646  Fun wfun 5229   Fn wfn 5230  wf 5231  1-1wf1 5232  1-1-ontowf1o 5234  cfv 5235  2nd c2nd 6163  Fincfn 6765  chash 10786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-1o 6440  df-er 6558  df-en 6766  df-dom 6767  df-fin 6768  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-ihash 10787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator