ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashf1rn GIF version

Theorem fihashf1rn 10032
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashf1rn ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem fihashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5166 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 simpl 107 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fnfi 6571 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an2 559 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
5 f1o2ndf1 5928 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
6 df-2nd 5847 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
76funmpt2 5006 . . . . . . . 8 Fun 2nd
8 f1f 5164 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
98anim2i 334 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴𝐵))
109ancomd 263 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin))
11 fex 5464 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
1210, 11syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
13 resfunexg 5458 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
147, 12, 13sylancr 405 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
15 f1oeq1 5192 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615biimpd 142 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1716eqcoms 2086 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1817adantl 271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1914, 18spcimedv 2695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019ex 113 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2120com13 79 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
225, 21mpcom 36 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2322impcom 123 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
24 fihasheqf1oi 10031 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
2524ex 113 . . 3 (𝐹 ∈ Fin → (𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
2625exlimdv 1742 . 2 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
274, 23, 26sylc 61 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  Vcvv 2612  {csn 3422   cuni 3627  ran crn 4402  cres 4403  Fun wfun 4963   Fn wfn 4964  wf 4965  1-1wf1 4966  1-1-ontowf1o 4968  cfv 4969  2nd c2nd 5845  Fincfn 6387  chash 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-1o 6113  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-ihash 10019
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator