ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashf1rn GIF version

Theorem fihashf1rn 10376
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashf1rn ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))

Proof of Theorem fihashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5266 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 simpl 108 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fnfi 6753 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an2 564 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
5 f1o2ndf1 6055 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
6 df-2nd 5970 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
76funmpt2 5098 . . . . . . . 8 Fun 2nd
8 f1f 5264 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
98anim2i 337 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴𝐵))
109ancomd 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin))
11 fex 5579 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
1210, 11syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
13 resfunexg 5573 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
147, 12, 13sylancr 408 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
15 f1oeq1 5292 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1716eqcoms 2103 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1817adantl 273 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1914, 18spcimedv 2727 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2120com13 80 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
225, 21mpcom 36 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2322impcom 124 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
24 fihasheqf1oi 10375 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
2524ex 114 . . 3 (𝐹 ∈ Fin → (𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
2625exlimdv 1758 . 2 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹)))
274, 23, 26sylc 62 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (♯‘𝐹) = (♯‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1299  wex 1436  wcel 1448  Vcvv 2641  {csn 3474   cuni 3683  ran crn 4478  cres 4479  Fun wfun 5053   Fn wfn 5054  wf 5055  1-1wf1 5056  1-1-ontowf1o 5058  cfv 5059  2nd c2nd 5968  Fincfn 6564  chash 10362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-1o 6243  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-ihash 10363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator