Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpen GIF version

Theorem xpen 6779
 Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
xpen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6681 . . . 4 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
21biimpi 119 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
32adantr 274 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
4 bren 6681 . . . . 5 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
54biimpi 119 . . . 4 (𝐶𝐷 → ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
65ad2antlr 481 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
7 relen 6678 . . . . . . 7 Rel ≈
87brrelex1i 4622 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
97brrelex1i 4622 . . . . . 6 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
10 xpexg 4693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
118, 9, 10syl2an 287 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
1211ad2antrr 480 . . . 4 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
13 simplr 520 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
14 f1ofn 5408 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
15 dffn5im 5507 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐴𝑓 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
17 f1oeq1 5396 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴1-1-onto𝐵))
1813, 16, 173syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴1-1-onto𝐵))
1913, 18mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴1-1-onto𝐵)
20 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
21 f1ofn 5408 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔 Fn 𝐶)
22 dffn5im 5507 . . . . . . . 8 (𝑔 Fn 𝐶𝑔 = (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔 = (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)))
24 f1oeq1 5396 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 ↔ (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)):𝐶1-1-onto𝐷))
2520, 23, 243syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 ↔ (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)):𝐶1-1-onto𝐷))
2620, 25mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)):𝐶1-1-onto𝐷)
2719, 26xpf1o 6778 . . . 4 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐶 ↦ ⟨(𝑓𝑥), (𝑔𝑦)⟩):(𝐴 × 𝐶)–1-1-onto→(𝐵 × 𝐷))
28 f1oeng 6691 . . . 4 (((𝐴 × 𝐶) ∈ V ∧ (𝑥𝐴, 𝑦𝐶 ↦ ⟨(𝑓𝑥), (𝑔𝑦)⟩):(𝐴 × 𝐶)–1-1-onto→(𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
2912, 27, 28syl2anc 409 . . 3 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
306, 29exlimddv 1875 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
313, 30exlimddv 1875 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709  ⟨cop 3559   class class class wbr 3961   ↦ cmpt 4021   × cxp 4577   Fn wfn 5158  –1-1-onto→wf1o 5162  ‘cfv 5163   ∈ cmpo 5816   ≈ cen 6672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-en 6675 This theorem is referenced by:  xpdjuen  7132  xpnnen  12082  xpomen  12083  qnnen  12119
 Copyright terms: Public domain W3C validator