ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpen GIF version

Theorem xpen 6541
Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
xpen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6444 . . . 4 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
21biimpi 118 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
32adantr 270 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
4 bren 6444 . . . . 5 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
54biimpi 118 . . . 4 (𝐶𝐷 → ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
65ad2antlr 473 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
7 relen 6441 . . . . . . 7 Rel ≈
87brrelexi 4468 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
97brrelexi 4468 . . . . . 6 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
10 xpexg 4540 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
118, 9, 10syl2an 283 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
1211ad2antrr 472 . . . 4 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
13 simplr 497 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
14 f1ofn 5238 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
15 dffn5im 5334 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐴𝑓 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
17 f1oeq1 5228 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴1-1-onto𝐵))
1813, 16, 173syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴1-1-onto𝐵))
1913, 18mpbid 145 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴1-1-onto𝐵)
20 simpr 108 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
21 f1ofn 5238 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔 Fn 𝐶)
22 dffn5im 5334 . . . . . . . 8 (𝑔 Fn 𝐶𝑔 = (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔 = (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)))
24 f1oeq1 5228 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 ↔ (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)):𝐶1-1-onto𝐷))
2520, 23, 243syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 ↔ (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)):𝐶1-1-onto𝐷))
2620, 25mpbid 145 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦𝐶 ↦ (𝑔𝑦)):𝐶1-1-onto𝐷)
2719, 26xpf1o 6540 . . . 4 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐶 ↦ ⟨(𝑓𝑥), (𝑔𝑦)⟩):(𝐴 × 𝐶)–1-1-onto→(𝐵 × 𝐷))
28 f1oeng 6454 . . . 4 (((𝐴 × 𝐶) ∈ V ∧ (𝑥𝐴, 𝑦𝐶 ↦ ⟨(𝑓𝑥), (𝑔𝑦)⟩):(𝐴 × 𝐶)–1-1-onto→(𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
2912, 27, 28syl2anc 403 . . 3 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
306, 29exlimddv 1826 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
313, 30exlimddv 1826 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  Vcvv 2619  cop 3444   class class class wbr 3837  cmpt 3891   × cxp 4426   Fn wfn 4997  1-1-ontowf1o 5001  cfv 5002  cmpt2 5636  cen 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-en 6438
This theorem is referenced by:  xpnnen  11287  xpomen  11288
  Copyright terms: Public domain W3C validator