Theorem finct 7175

Description: A finite set is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finct	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑔

Proof of Theorem finct

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidcenum 7015	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))
2		enumct 7174	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
3	1, 2	simplbiim 387	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 835  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ωcom 4622  –onto→wfo 5252  1_oc1o 6462  Fincfn 6794   ⊔ cdju 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143

This theorem is referenced by:  unct  12599