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Theorem enomnilem 6976
Description: Lemma for enomni 6977. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Omni → 𝐵 ∈ Omni))

Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6607 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
21biimpi 119 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
32ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
4 fveq1 5386 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓𝑥) = ((𝑔)‘𝑥))
54eqeq1d 2124 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = ∅ ↔ ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
65rexbidv 2413 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
74eqeq1d 2124 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
87ralbidv 2412 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
96, 8orbi12d 765 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔) → ((∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o) ↔ (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)))
10 isomnimap 6975 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Omni → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)))
1110ibi 175 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Omni → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))
1211ad3antlr 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))
13 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵))
14 2onn 6383 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ ω
15 relen 6604 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel ≈
1615brrelex2i 4551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
17 elmapg 6521 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
1814, 16, 17sylancr 408 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
1918ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
2013, 19mpbid 146 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔:𝐵⟶2o)
2120adantr 272 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑔:𝐵⟶2o)
22 f1of 5333 . . . . . . . . . 10 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴𝐵)
2322adantl 273 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → :𝐴𝐵)
24 fco 5256 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐵⟶2o:𝐴𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
2521, 23, 24syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
26 simpllr 506 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴 ∈ Omni)
27 elmapg 6521 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Omni) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
2814, 26, 27sylancr 408 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
2925, 28mpbird 166 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴))
309, 12, 29rspcdva 2766 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
31 f1ofn 5334 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐵 Fn 𝐴)
3231ad2antlr 478 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fn 𝐴)
33 fvco2 5456 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
3432, 33sylancom 414 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
3534eqeq1d 2124 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
3623ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥) ∈ 𝐵)
37 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → 𝑦 = (𝑥))
3837fveq2d 5391 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑥)))
3938eqeq1d 2124 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → ((𝑔𝑦) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
4036, 39rspcedv 2765 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔‘(𝑥)) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4135, 40sylbid 149 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4241rexlimdva 2524 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4331ad3antlr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → Fn 𝐴)
44 f1ocnv 5346 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵1-1-onto𝐴)
45 f1of 5333 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐵1-1-onto𝐴:𝐵𝐴)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵𝐴)
4746ad3antlr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐵𝐴)
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
4947, 48ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦) ∈ 𝐴)
50 fvco2 5456 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴 ∧ (𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
5143, 49, 50syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
52 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦) → ((𝑔)‘𝑥) = ((𝑔)‘(𝑦)))
5352eqeq1d 2124 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦) → (((𝑔)‘𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o))
54 simplr 502 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)
5553, 54, 49rspcdva 2766 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o)
56 simpllr 506 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐴1-1-onto𝐵)
57 f1ocnvfv2 5645 . . . . . . . . . . . 12 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (‘(𝑦)) = 𝑦)
5857fveq2d 5391 . . . . . . . . . . 11 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
5956, 58sylancom 414 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
6051, 55, 593eqtr3rd 2157 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔𝑦) = 1o)
6160ralrimiva 2480 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)
6261ex 114 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
6342, 62orim12d 758 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6430, 63mpd 13 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
653, 64exlimddv 1852 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
6665ralrimiva 2480 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
67 isomnimap 6975 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6816, 67syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6968adantr 272 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
7066, 69mpbird 166 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → 𝐵 ∈ Omni)
7170ex 114 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Omni → 𝐵 ∈ Omni))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392  Vcvv 2658  c0 3331   class class class wbr 3897  ωcom 4472  ccnv 4506  ccom 4511   Fn wfn 5086  wf 5087  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740  1oc1o 6272  2oc2o 6273  𝑚 cmap 6508  cen 6598  Omnicomni 6970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-en 6601  df-omni 6972
This theorem is referenced by:  enomni  6977
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