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Theorem enomnilem 7064
 Description: Lemma for enomni 7065. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Omni → 𝐵 ∈ Omni))

Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6685 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
21biimpi 119 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
32ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
4 fveq1 5464 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓𝑥) = ((𝑔)‘𝑥))
54eqeq1d 2166 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = ∅ ↔ ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
65rexbidv 2458 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
74eqeq1d 2166 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
87ralbidv 2457 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
96, 8orbi12d 783 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔) → ((∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o) ↔ (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)))
10 isomnimap 7063 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Omni → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)))
1110ibi 175 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Omni → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))
1211ad3antlr 485 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))
13 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵))
14 2onn 6461 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ ω
15 relen 6682 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel ≈
1615brrelex2i 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
17 elmapg 6599 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
1814, 16, 17sylancr 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
1918ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
2013, 19mpbid 146 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔:𝐵⟶2o)
2120adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑔:𝐵⟶2o)
22 f1of 5411 . . . . . . . . . 10 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴𝐵)
2322adantl 275 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → :𝐴𝐵)
24 fco 5332 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐵⟶2o:𝐴𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
2521, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
26 simpllr 524 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴 ∈ Omni)
27 elmapg 6599 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Omni) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
2814, 26, 27sylancr 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
2925, 28mpbird 166 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴))
309, 12, 29rspcdva 2821 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
31 f1ofn 5412 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐵 Fn 𝐴)
3231ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fn 𝐴)
33 fvco2 5534 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
3432, 33sylancom 417 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
3534eqeq1d 2166 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
3623ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥) ∈ 𝐵)
37 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → 𝑦 = (𝑥))
3837fveq2d 5469 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑥)))
3938eqeq1d 2166 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → ((𝑔𝑦) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
4036, 39rspcedv 2820 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔‘(𝑥)) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4135, 40sylbid 149 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4241rexlimdva 2574 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4331ad3antlr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → Fn 𝐴)
44 f1ocnv 5424 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵1-1-onto𝐴)
45 f1of 5411 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐵1-1-onto𝐴:𝐵𝐴)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵𝐴)
4746ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐵𝐴)
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
4947, 48ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦) ∈ 𝐴)
50 fvco2 5534 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴 ∧ (𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
5143, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
52 fveq2 5465 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦) → ((𝑔)‘𝑥) = ((𝑔)‘(𝑦)))
5352eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦) → (((𝑔)‘𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o))
54 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)
5553, 54, 49rspcdva 2821 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o)
56 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐴1-1-onto𝐵)
57 f1ocnvfv2 5723 . . . . . . . . . . . 12 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (‘(𝑦)) = 𝑦)
5857fveq2d 5469 . . . . . . . . . . 11 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
5956, 58sylancom 417 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
6051, 55, 593eqtr3rd 2199 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔𝑦) = 1o)
6160ralrimiva 2530 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)
6261ex 114 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
6342, 62orim12d 776 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6430, 63mpd 13 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
653, 64exlimddv 1878 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
6665ralrimiva 2530 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
67 isomnimap 7063 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6816, 67syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6968adantr 274 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
7066, 69mpbird 166 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → 𝐵 ∈ Omni)
7170ex 114 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Omni → 𝐵 ∈ Omni))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  Vcvv 2712  ∅c0 3394   class class class wbr 3965  ωcom 4547  ◡ccnv 4582   ∘ ccom 4587   Fn wfn 5162  ⟶wf 5163  –1-1-onto→wf1o 5166  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  1oc1o 6350  2oc2o 6351   ↑𝑚 cmap 6586   ≈ cen 6676  Omnicomni 7060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1o 6357  df-2o 6358  df-map 6588  df-en 6679  df-omni 7061 This theorem is referenced by:  enomni  7065
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