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Theorem enomnilem 7136
Description: Lemma for enomni 7137. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Omni → 𝐵 ∈ Omni))

Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6747 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
21biimpi 120 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
32ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → ∃ :𝐴1-1-onto𝐵)
4 fveq1 5515 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓𝑥) = ((𝑔)‘𝑥))
54eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = ∅ ↔ ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
65rexbidv 2478 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅))
74eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔) → ((𝑓𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
87ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
96, 8orbi12d 793 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔) → ((∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o) ↔ (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)))
10 isomnimap 7135 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Omni → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)))
1110ibi 176 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Omni → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))
1211ad3antlr 493 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))
13 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵))
14 2onn 6522 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ ω
15 relen 6744 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel ≈
1615brrelex2i 4671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
17 elmapg 6661 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
1814, 16, 17sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵) ↔ 𝑔:𝐵⟶2o))
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → 𝑔:𝐵⟶2o)
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑔:𝐵⟶2o)
22 f1of 5462 . . . . . . . . . 10 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴𝐵)
2322adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → :𝐴𝐵)
24 fco 5382 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐵⟶2o:𝐴𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔):𝐴⟶2o)
26 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴 ∈ Omni)
27 elmapg 6661 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Omni) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
2814, 26, 27sylancr 414 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ (𝑔):𝐴⟶2o))
2925, 28mpbird 167 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔) ∈ (2o𝑚 𝐴))
309, 12, 29rspcdva 2847 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o))
31 f1ofn 5463 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐵 Fn 𝐴)
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fn 𝐴)
33 fvco2 5586 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
3432, 33sylancom 420 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔)‘𝑥) = (𝑔‘(𝑥)))
3534eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
3623ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥) ∈ 𝐵)
37 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → 𝑦 = (𝑥))
3837fveq2d 5520 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑥)))
3938eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑥)) → ((𝑔𝑦) = ∅ ↔ (𝑔‘(𝑥)) = ∅))
4036, 39rspcedv 2846 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑔‘(𝑥)) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4135, 40sylbid 150 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4241rexlimdva 2594 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ → ∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅))
4331ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → Fn 𝐴)
44 f1ocnv 5475 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵1-1-onto𝐴)
45 f1of 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐵1-1-onto𝐴:𝐵𝐴)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (:𝐴1-1-onto𝐵:𝐵𝐴)
4746ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐵𝐴)
48 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
4947, 48ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦) ∈ 𝐴)
50 fvco2 5586 . . . . . . . . . . 11 (( Fn 𝐴 ∧ (𝑦) ∈ 𝐴) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
5143, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = (𝑔‘(‘(𝑦))))
52 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦) → ((𝑔)‘𝑥) = ((𝑔)‘(𝑦)))
5352eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦) → (((𝑔)‘𝑥) = 1o ↔ ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o))
54 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o)
5553, 54, 49rspcdva 2847 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑔)‘(𝑦)) = 1o)
56 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → :𝐴1-1-onto𝐵)
57 f1ocnvfv2 5779 . . . . . . . . . . . 12 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (‘(𝑦)) = 𝑦)
5857fveq2d 5520 . . . . . . . . . . 11 ((:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
5956, 58sylancom 420 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔‘(‘(𝑦))) = (𝑔𝑦))
6051, 55, 593eqtr3rd 2219 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑔𝑦) = 1o)
6160ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)
6261ex 115 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o → ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
6342, 62orim12d 786 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → ((∃𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 ((𝑔)‘𝑥) = 1o) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6430, 63mpd 13 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) ∧ :𝐴1-1-onto𝐵) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
653, 64exlimddv 1898 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) ∧ 𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)) → (∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
6665ralrimiva 2550 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o))
67 isomnimap 7135 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6816, 67syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
6968adantr 276 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → (𝐵 ∈ Omni ↔ ∀𝑔 ∈ (2o𝑚 𝐵)(∃𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = ∅ ∨ ∀𝑦𝐵 (𝑔𝑦) = 1o)))
7066, 69mpbird 167 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Omni) → 𝐵 ∈ Omni)
7170ex 115 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Omni → 𝐵 ∈ Omni))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2738  c0 3423   class class class wbr 4004  ωcom 4590  ccnv 4626  ccom 4631   Fn wfn 5212  wf 5213  1-1-ontowf1o 5216  cfv 5217  (class class class)co 5875  1oc1o 6410  2oc2o 6411  𝑚 cmap 6648  cen 6738  Omnicomni 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-en 6741  df-omni 7133
This theorem is referenced by:  enomni  7137
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