Theorem lspsn 14693

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspsn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 14660	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	5, 7, 9	lmod1cl 14592	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 14593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
12	11	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
13		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
14	13	rspceeqv 2942	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
15	10, 12, 14	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
16		eqeq1 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 2545	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
18	17	elabg 2966	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
19	18	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
20	15, 19	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 14687	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
22	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
23	4, 1, 2	lspsncl 14669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
26	4, 2	lspsnid 14684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 14652	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		eleq1a 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
31	29, 30	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
32	31	rexlimdva 2662	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
33	32	abssdv 3316	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34	21, 33	eqssd 3259	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∃wrex 2523  {csn 3694  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299  Scalarcsca 13380   ·_𝑠 cvsca 13381  1_rcur 14205  LModclmod 14564  LSubSpclss 14629  LSpanclspn 14663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-lmod 14566  df-lssm 14630  df-lsp 14664

This theorem is referenced by:  ellspsn  14694