ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsn GIF version
Theorem lspsn 13507
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑣,π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁,𝑣   π‘˜,𝑉,𝑣   π‘˜,π‘Š,𝑣   Β· ,π‘˜,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)
Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simpl 109 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 13475 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 eqid 2177 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
105, 7, 9lmod1cl 13410 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 13411 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2183 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
13 oveq1 5884 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜πΉ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
1413rspceeqv 2861 . . . . 5 (((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 595 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
16 eqeq1 2184 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1716rexbidv 2478 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1817elabg 2885 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1918adantl 277 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2015, 19mpbird 167 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 13501 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
223adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 13484 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2423adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 simpr 110 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
264, 2lspsnid 13498 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2726adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 13467 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 1239 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
30 eleq1a 2249 . . . . 5 ((π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3129, 30syl 14 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3231rexlimdva 2594 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3332abssdv 3231 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3421, 33eqssd 3174 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  βˆƒwrex 2456  {csn 3594  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  1rcur 13147  LModclmod 13382  LSubSpclss 13447  LSpanclspn 13478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448  df-lsp 13479
This theorem is referenced by:  lspsnel  13508
  Copyright terms: Public domain W3C validator