Theorem lspsn 14388

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspsn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 14355	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	5, 7, 9	lmod1cl 14287	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 14288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
12	11	eqcomd 2235	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
13		oveq1 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
14	13	rspceeqv 2925	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
15	10, 12, 14	syl2an2r 597	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
16		eqeq1 2236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 2531	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
18	17	elabg 2949	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
19	18	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
20	15, 19	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 14382	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
22	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
23	4, 1, 2	lspsncl 14364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
26	4, 2	lspsnid 14379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 14347	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		eleq1a 2301	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
31	29, 30	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
32	31	rexlimdva 2648	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
33	32	abssdv 3298	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34	21, 33	eqssd 3241	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∃wrex 2509  {csn 3666  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  1_rcur 13930  LModclmod 14259  LSubSpclss 14324  LSpanclspn 14358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-lsp 14359

This theorem is referenced by:  ellspsn  14389