ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsn GIF version

Theorem lspsn 13729
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 simpl 109 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 lspsn.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 13696 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 eqid 2189 . . . . . 6 (1r𝐹) = (1r𝐹)
105, 7, 9lmod1cl 13628 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 13629 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2195 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋))
13 oveq1 5902 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
1413rspceeqv 2874 . . . . 5 (((1r𝐹) ∈ 𝐾𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 595 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
16 eqeq1 2196 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1716rexbidv 2491 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1817elabg 2898 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1918adantl 277 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2015, 19mpbird 167 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 13723 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
223adantr 276 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 13705 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2423adantr 276 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 simpr 110 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
264, 2lspsnid 13720 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2726adantr 276 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 13688 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘𝐾𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 1250 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30 eleq1a 2261 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3129, 30syl 14 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3231rexlimdva 2607 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3332abssdv 3244 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3421, 33eqssd 3187 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  {cab 2175  wrex 2469  {csn 3607  cfv 5235  (class class class)co 5895  Basecbs 12511  Scalarcsca 12589   ·𝑠 cvsca 12590  1rcur 13310  LModclmod 13600  LSubSpclss 13665  LSpanclspn 13699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-minusg 12946  df-sbg 12947  df-mgp 13272  df-ur 13311  df-ring 13349  df-lmod 13602  df-lssm 13666  df-lsp 13700
This theorem is referenced by:  lspsnel  13730
  Copyright terms: Public domain W3C validator