Theorem dedekindicclemeu 15655

Description: Lemma for dedekindicc 15657. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
dedekindicclemeu.are	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.ac	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐶 < 𝑟))
dedekindicclemeu.bre	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.bc	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟))
dedekindicclemeu.lt	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemeu	⊢ (𝜑 → ⊥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟   𝐷,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐷(𝑞)

Proof of Theorem dedekindicclemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4128	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝐶 ↔ 𝐶 < 𝐶))
2		dedekindicclemeu.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐶 < 𝑟))
3	2	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → 𝐶 ∈ 𝐿)
6	1, 4, 5	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → 𝐶 < 𝐶)
7		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9		iccssre 10336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11		dedekindicclemeu.are	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	10, 11	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	ltnrd 8427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐶)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ¬ 𝐶 < 𝐶)
15	6, 14	pm2.21fal 1422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ⊥)
16		breq2 4129	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝐷 < 𝑟 ↔ 𝐷 < 𝐷))
17		dedekindicclemeu.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟))
18	17	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟)
20		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → 𝐷 ∈ 𝑈)
21	16, 19, 20	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → 𝐷 < 𝐷)
22		dedekindicclemeu.bre	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	10, 22	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
24	23	ltnrd 8427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐷)
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐷 < 𝐷)
26	21, 25	pm2.21fal 1422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ⊥)
27		dedekindicclemeu.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
28		breq2 4129	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝐶 < 𝑟 ↔ 𝐶 < 𝐷))
29		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐷 ∈ 𝑈))
30	29	orbi2d 802	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈)))
31	28, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈))))
32		breq1 4128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝐶 < 𝑟))
33		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
34	33	orbi1d 803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
35	32, 34	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
36	35	ralbidv 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
37		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
38	36, 37, 11	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
39	31, 38, 22	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈)))
40	27, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈))
41	15, 26, 40	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168   < clt 8350  [,]cicc 10272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-icc 10276

This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  15656