Theorem dedekindicclemeu 13403

Description: Lemma for dedekindicc 13405. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
dedekindicclemeu.are	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.ac	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐶 < 𝑟))
dedekindicclemeu.bre	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.bc	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟))
dedekindicclemeu.lt	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemeu	⊢ (𝜑 → ⊥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟   𝐷,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐷(𝑞)

Proof of Theorem dedekindicclemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3992	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝐶 ↔ 𝐶 < 𝐶))
2		dedekindicclemeu.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐶 < 𝑟))
3	2	simpld 111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶)
4	3	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶)
5		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → 𝐶 ∈ 𝐿)
6	1, 4, 5	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → 𝐶 < 𝐶)
7		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9		iccssre 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11		dedekindicclemeu.are	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	10, 11	sseldd 3148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	ltnrd 8031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐶)
14	13	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ¬ 𝐶 < 𝐶)
15	6, 14	pm2.21fal 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ⊥)
16		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝐷 < 𝑟 ↔ 𝐷 < 𝐷))
17		dedekindicclemeu.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟))
18	17	simprd 113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟)
19	18	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟)
20		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → 𝐷 ∈ 𝑈)
21	16, 19, 20	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → 𝐷 < 𝐷)
22		dedekindicclemeu.bre	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	10, 22	sseldd 3148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
24	23	ltnrd 8031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐷)
25	24	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐷 < 𝐷)
26	21, 25	pm2.21fal 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ⊥)
27		dedekindicclemeu.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
28		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝐶 < 𝑟 ↔ 𝐶 < 𝐷))
29		eleq1 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐷 ∈ 𝑈))
30	29	orbi2d 785	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈)))
31	28, 30	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈))))
32		breq1 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝐶 < 𝑟))
33		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
34	33	orbi1d 786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
35	32, 34	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
36	35	ralbidv 2470	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
37		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
38	36, 37, 11	rspcdva 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
39	31, 38, 22	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈)))
40	27, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈))
41	15, 26, 40	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348  ⊥wfal 1353   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   < clt 7954  [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852

This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  13404