Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemeu GIF version

Theorem dedekindicclemeu 12788
 Description: Lemma for dedekindicc 12790. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
dedekindicc.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
dedekindicc.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
dedekindicc.ab (𝜑𝐴 < 𝐵)
dedekindicclemeu.are (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.ac (𝜑 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟𝑈 𝐶 < 𝑟))
dedekindicclemeu.bre (𝜑𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.bc (𝜑 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟𝑈 𝐷 < 𝑟))
dedekindicclemeu.lt (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemeu (𝜑 → ⊥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟   𝐷,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐷(𝑞)

Proof of Theorem dedekindicclemeu
StepHypRef Expression
1 breq1 3932 . . . 4 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝐶𝐶 < 𝐶))
2 dedekindicclemeu.ac . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟𝑈 𝐶 < 𝑟))
32simpld 111 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝐶)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐿) → ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝐶)
5 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐿) → 𝐶𝐿)
61, 4, 5rspcdva 2794 . . 3 ((𝜑𝐶𝐿) → 𝐶 < 𝐶)
7 dedekindicc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 dedekindicc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9 iccssre 9745 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
107, 8, 9syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11 dedekindicclemeu.are . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1210, 11sseldd 3098 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312ltnrd 7882 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐶)
1413adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐶𝐿) → ¬ 𝐶 < 𝐶)
156, 14pm2.21fal 1351 . 2 ((𝜑𝐶𝐿) → ⊥)
16 breq2 3933 . . . 4 (𝑟 = 𝐷 → (𝐷 < 𝑟𝐷 < 𝐷))
17 dedekindicclemeu.bc . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟𝑈 𝐷 < 𝑟))
1817simprd 113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑟𝑈 𝐷 < 𝑟)
1918adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑈) → ∀𝑟𝑈 𝐷 < 𝑟)
20 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑈) → 𝐷𝑈)
2116, 19, 20rspcdva 2794 . . 3 ((𝜑𝐷𝑈) → 𝐷 < 𝐷)
22 dedekindicclemeu.bre . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2310, 22sseldd 3098 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2423ltnrd 7882 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐷)
2524adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐷𝑈) → ¬ 𝐷 < 𝐷)
2621, 25pm2.21fal 1351 . 2 ((𝜑𝐷𝑈) → ⊥)
27 dedekindicclemeu.lt . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
28 breq2 3933 . . . . 5 (𝑟 = 𝐷 → (𝐶 < 𝑟𝐶 < 𝐷))
29 eleq1 2202 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐷 → (𝑟𝑈𝐷𝑈))
3029orbi2d 779 . . . . 5 (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐶𝐿𝐷𝑈)))
3128, 30imbi12d 233 . . . 4 (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 < 𝑟 → (𝐶𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝐷 → (𝐶𝐿𝐷𝑈))))
32 breq1 3932 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟𝐶 < 𝑟))
33 eleq1 2202 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞𝐿𝐶𝐿))
3433orbi1d 780 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐶𝐿𝑟𝑈)))
3532, 34imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝑟 → (𝐶𝐿𝑟𝑈))))
3635ralbidv 2437 . . . . 5 (𝑞 = 𝐶 → (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶𝐿𝑟𝑈))))
37 dedekindicc.loc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
3836, 37, 11rspcdva 2794 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶𝐿𝑟𝑈)))
3931, 38, 22rspcdva 2794 . . 3 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 → (𝐶𝐿𝐷𝑈)))
4027, 39mpd 13 . 2 (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷𝑈))
4115, 26, 40mpjaodan 787 1 (𝜑 → ⊥)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ⊥wfal 1336   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7626   < clt 7807  [,]cicc 9681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-icc 9685 This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  12789
 Copyright terms: Public domain W3C validator