Theorem dedekindicclemeu 15218

Description: Lemma for dedekindicc 15220. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
dedekindicclemeu.are	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.ac	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐶 < 𝑟))
dedekindicclemeu.bre	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicclemeu.bc	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟))
dedekindicclemeu.lt	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemeu	⊢ (𝜑 → ⊥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟   𝐷,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐷(𝑞)

Proof of Theorem dedekindicclemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4062	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝐶 ↔ 𝐶 < 𝐶))
2		dedekindicclemeu.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐶 < 𝑟))
3	2	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐶)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → 𝐶 ∈ 𝐿)
6	1, 4, 5	rspcdva 2889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → 𝐶 < 𝐶)
7		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9		iccssre 10112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11		dedekindicclemeu.are	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	10, 11	sseldd 3202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	ltnrd 8219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐶)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ¬ 𝐶 < 𝐶)
15	6, 14	pm2.21fal 1393	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿) → ⊥)
16		breq2 4063	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝐷 < 𝑟 ↔ 𝐷 < 𝐷))
17		dedekindicclemeu.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐷 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟))
18	17	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐷 < 𝑟)
20		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → 𝐷 ∈ 𝑈)
21	16, 19, 20	rspcdva 2889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → 𝐷 < 𝐷)
22		dedekindicclemeu.bre	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	10, 22	sseldd 3202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
24	23	ltnrd 8219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐷)
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐷 < 𝐷)
26	21, 25	pm2.21fal 1393	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ⊥)
27		dedekindicclemeu.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
28		breq2 4063	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝐶 < 𝑟 ↔ 𝐶 < 𝐷))
29		eleq1 2270	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐷 ∈ 𝑈))
30	29	orbi2d 792	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈)))
31	28, 30	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐷 → ((𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈))))
32		breq1 4062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝐶 < 𝑟))
33		eleq1 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
34	33	orbi1d 793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
35	32, 34	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
36	35	ralbidv 2508	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
37		dedekindicc.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
38	36, 37, 11	rspcdva 2889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐶 < 𝑟 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
39	31, 38, 22	rspcdva 2889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈)))
40	27, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐿 ∨ 𝐷 ∈ 𝑈))
41	15, 26, 40	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373  ⊥wfal 1378   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  ℝcr 7959   < clt 8142  [,]cicc 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-icc 10052

This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  15219