Theorem leabs 11242

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) < 0)
2		recn 8015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absge0 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
6		0red 8030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
7		abscl 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 8147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (0 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 0))
11	5, 10	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ¬ (abs‘𝐴) < 0)
12	1, 11	pm2.21fal 1384	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ⊥)
13		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		0red 8030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	14, 13, 15	ltled 8148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
17		absid 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
19		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) < 𝐴)
20	18, 19	eqbrtrrd 4058	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
21	13	ltnrd 8141	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22	20, 21	pm2.21fal 1384	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ⊥)
23		0re 8029	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		axltwlin 8097	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
25	23, 24	mp3an3 1337	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
26	8, 25	mpancom 422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
27	26	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴))
28	12, 22, 27	mpjaodan 799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ⊥)
29	28	inegd 1383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴)
30		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 8	lenltd 8147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴))
32	29, 31	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364  ⊥wfal 1369   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  ℂcc 7880  ℝcr 7881  0cc0 7882   < clt 8064   ≤ cle 8065  abscabs 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-rp 9732  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167

This theorem is referenced by:  abslt  11256  absle  11257  abssubap0  11258  releabs  11264  leabsi  11296  leabsd  11329  dfabsmax  11385