Theorem leabs 11863

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) < 0)
2		recn 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absge0 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
5	4	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
6		0red 8334	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
7		abscl 11840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 8452	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (0 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 0))
11	5, 10	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ¬ (abs‘𝐴) < 0)
12	1, 11	pm2.21fal 1422	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ⊥)
13		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		0red 8334	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	14, 13, 15	ltled 8453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
17		absid 11860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
18	13, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
19		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) < 𝐴)
20	18, 19	eqbrtrrd 4155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
21	13	ltnrd 8445	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22	20, 21	pm2.21fal 1422	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ⊥)
23		0re 8333	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		axltwlin 8400	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
25	23, 24	mp3an3 1367	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
26	8, 25	mpancom 426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
27	26	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴))
28	12, 22, 27	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ⊥)
29	28	inegd 1421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴)
30		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 8	lenltd 8452	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴))
32	29, 31	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   < clt 8367   ≤ cle 8368  abscabs 11786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788

This theorem is used by:  abslt  11878  absle  11879  abssubap0  11880  releabs  11886  leabsi  11918  leabsd  11951  dfabsmax  12007