ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leabs GIF version

Theorem leabs 10786
Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
leabs (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) < 0)
2 recn 7717 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 absge0 10772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
42, 3syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
54ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
6 0red 7731 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
7 abscl 10763 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
82, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
98ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
106, 9lenltd 7844 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (0 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 0))
115, 10mpbid 146 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ¬ (abs‘𝐴) < 0)
121, 11pm2.21fal 1334 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ⊥)
13 simpll 501 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 0red 7731 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
15 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1614, 13, 15ltled 7845 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
17 absid 10783 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
1813, 16, 17syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
19 simplr 502 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) < 𝐴)
2018, 19eqbrtrrd 3920 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
2113ltnrd 7839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2220, 21pm2.21fal 1334 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ⊥)
23 0re 7730 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
24 axltwlin 7796 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2523, 24mp3an3 1287 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
268, 25mpancom 416 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2726imp 123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2812, 22, 27mpjaodan 770 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ⊥)
2928inegd 1333 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴)
30 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3130, 8lenltd 7844 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴))
3229, 31mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680   = wceq 1314  wfal 1319  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  cc 7582  cr 7583  0cc0 7584   < clt 7764  cle 7765  abscabs 10709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711
This theorem is referenced by:  abslt  10800  absle  10801  abssubap0  10802  releabs  10808  leabsi  10840  leabsd  10873  dfabsmax  10929
  Copyright terms: Public domain W3C validator