Theorem leabs 11636

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) < 0)
2		recn 8165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absge0 11622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
6		0red 8180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
7		abscl 11613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 8297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (0 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 0))
11	5, 10	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ¬ (abs‘𝐴) < 0)
12	1, 11	pm2.21fal 1417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ⊥)
13		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		0red 8180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	14, 13, 15	ltled 8298	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
17		absid 11633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
19		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) < 𝐴)
20	18, 19	eqbrtrrd 4112	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
21	13	ltnrd 8291	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22	20, 21	pm2.21fal 1417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ⊥)
23		0re 8179	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		axltwlin 8247	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
25	23, 24	mp3an3 1362	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
26	8, 25	mpancom 422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
27	26	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴))
28	12, 22, 27	mpjaodan 805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ⊥)
29	28	inegd 1416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴)
30		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 8	lenltd 8297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴))
32	29, 31	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397  ⊥wfal 1402   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214   ≤ cle 8215  abscabs 11559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561

This theorem is referenced by:  abslt  11650  absle  11651  abssubap0  11652  releabs  11658  leabsi  11690  leabsd  11723  dfabsmax  11779