Theorem climuni 11458

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9352	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 9637	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4		climcl 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcl 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	subcld 8337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		simp3 1001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
10	5, 7, 9	subap0d 8671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
11	8, 10	absrpclapd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
12	11	rphalfcld 9784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
14		simp1 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 11452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
16		simp2 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 11452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
18	2	rexanuz2 11156	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
19	15, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
20		nnz 9345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21		uzid 9615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
22		elex2 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
23		r19.2m 3537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	26, 27	abssubd 11358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))))
29	28	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		subcl 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	abscld 11346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
34		abs3lem 11276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
36	33	ltnrd 8138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
37	36	pm2.21d 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
40	29, 39	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
41	40	impr 379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
42	41	adantld 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
43	42	expimpd 363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
44	43	rexlimdvw 2618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
45	25, 44	sylan9r 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
46	45	rexlimdva 2614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
47	5, 7, 46	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49	48	3expia 1207	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 # 𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
50	1, 49	mt2i 645	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵)
51		apti 8649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
52	4, 6, 51	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
53	50, 52	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  1c1 7880   < clt 8061   − cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  abscabs 11162   ⇝ cli 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444

This theorem is referenced by:  fclim  11459  climeu  11461  climrecl  11489  summodclem2  11547  summodc  11548  prodmodclem2  11742  prodmodc  11743  ef0  11837  efcj  11838  efaddlem  11839