Theorem climuni 11256

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9238	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 9522	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4		climcl 11245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcl 11245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	subcld 8230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		simp3 994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
10	5, 7, 9	subap0d 8563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
11	8, 10	absrpclapd 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
12	11	rphalfcld 9666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13		eqidd 2171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
14		simp1 992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 11250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
16		simp2 993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 11250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
18	2	rexanuz2 10955	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
19	15, 17, 18	sylanbrc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
20		nnz 9231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21		uzid 9501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
22		elex2 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
23		r19.2m 3501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
24	23	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
26		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	26, 27	abssubd 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))))
29	28	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
30		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		subcl 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
34		abs3lem 11075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
36	33	ltnrd 8031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
37	36	pm2.21d 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
39	38	expd 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
40	29, 39	sylbid 149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
41	40	impr 377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
42	41	adantld 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
43	42	expimpd 361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
44	43	rexlimdvw 2591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
45	25, 44	sylan9r 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
46	45	rexlimdva 2587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
47	5, 7, 46	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49	48	3expia 1200	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 # 𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
50	1, 49	mt2i 639	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵)
51		apti 8541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
52	4, 6, 51	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
53	50, 52	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  1c1 7775   < clt 7954   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  abscabs 10961   ⇝ cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242

This theorem is referenced by:  fclim  11257  climeu  11259  climrecl  11287  summodclem2  11345  summodc  11346  prodmodclem2  11540  prodmodc  11541  ef0  11635  efcj  11636  efaddlem  11637