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Theorem climuni 11303
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 9281 . . 3 1 ∈ ℤ
2 nnuz 9565 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 9282 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4 climcl 11292 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 climcl 11292 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
85, 7subcld 8270 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 simp3 999 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
105, 7, 9subap0d 8603 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (𝐴𝐵) # 0)
118, 10absrpclapd 11199 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
1211rphalfcld 9711 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13 eqidd 2178 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 simp1 997 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐹𝐴)
152, 3, 12, 13, 14climi 11297 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
16 simp2 998 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐹𝐵)
172, 3, 12, 13, 16climi 11297 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
182rexanuz2 11002 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
1915, 17, 18sylanbrc 417 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
20 nnz 9274 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21 uzid 9544 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
22 elex2 2755 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
23 r19.2m 3511 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
2423ex 115 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))))
2520, 21, 22, 244syl 18 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))))
26 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
27 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2826, 27abssubd 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))))
2928breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
30 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 subcl 8158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3332abscld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
34 abs3lem 11122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵))))
3527, 30, 26, 33, 34syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵))))
3633ltnrd 8071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)))
3736pm2.21d 619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
3835, 37syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
3938expd 258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
4029, 39sylbid 150 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
4140impr 379 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4241adantld 278 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4342expimpd 363 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4443rexlimdvw 2598 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4525, 44sylan9r 410 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4645rexlimdva 2594 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
475, 7, 46syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4819, 47mpd 13 . . . 4 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49483expia 1205 . . 3 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → (𝐴 # 𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
501, 49mt2i 644 . 2 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵)
51 apti 8581 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
524, 6, 51syl2an 289 . 2 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
5350, 52mpbird 167 1 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5877  cc 7811  cr 7812  1c1 7814   < clt 7994  cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  cn 8921  2c2 8972  cz 9255  cuz 9530  abscabs 11008  cli 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289
This theorem is referenced by:  fclim  11304  climeu  11306  climrecl  11334  summodclem2  11392  summodc  11393  prodmodclem2  11587  prodmodc  11588  ef0  11682  efcj  11683  efaddlem  11684
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