Theorem climuni 11648

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9405	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 9691	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4		climcl 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcl 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	subcld 8390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		simp3 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
10	5, 7, 9	subap0d 8724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) # 0)
11	8, 10	absrpclapd 11543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
12	11	rphalfcld 9838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13		eqidd 2207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
14		simp1 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 11642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
16		simp2 1001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 11642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
18	2	rexanuz2 11346	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
19	15, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
20		nnz 9398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21		uzid 9669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
22		elex2 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
23		r19.2m 3548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	26, 27	abssubd 11548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))))
29	28	breq1d 4057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		subcl 8278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	abscld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
34		abs3lem 11466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
36	33	ltnrd 8191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
37	36	pm2.21d 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
40	29, 39	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
41	40	impr 379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
42	41	adantld 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
43	42	expimpd 363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
44	43	rexlimdvw 2628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
45	25, 44	sylan9r 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
46	45	rexlimdva 2624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
47	5, 7, 46	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 # 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49	48	3expia 1208	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 # 𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
50	1, 49	mt2i 645	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵)
51		apti 8702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
52	4, 6, 51	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
53	50, 52	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  1c1 7933   < clt 8114   − cmin 8250   # cap 8661   / cdiv 8752  ℕcn 9043  2c2 9094  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  abscabs 11352   ⇝ cli 11633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634

This theorem is referenced by:  fclim  11649  climeu  11651  climrecl  11679  summodclem2  11737  summodc  11738  prodmodclem2  11932  prodmodc  11933  ef0  12027  efcj  12028  efaddlem  12029