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Theorem climuni 10579
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 8712 . . 3 1 ∈ ℤ
2 nnuz 8989 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 8713 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4 climcl 10568 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
543ad2ant1 962 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 climcl 10568 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵𝐵 ∈ ℂ)
763ad2ant2 963 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
85, 7subcld 7740 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 simp3 943 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
105, 7, 9subap0d 8061 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (𝐴𝐵) # 0)
118, 10absrpclapd 10520 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
1211rphalfcld 9121 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13 eqidd 2086 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 simp1 941 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐹𝐴)
152, 3, 12, 13, 14climi 10573 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
16 simp2 942 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → 𝐹𝐵)
172, 3, 12, 13, 16climi 10573 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
182rexanuz2 10323 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
1915, 17, 18sylanbrc 408 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
20 nnz 8705 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21 uzid 8968 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
22 elex2 2629 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
23 r19.2m 3356 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))))
2423ex 113 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))))
2520, 21, 22, 244syl 18 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))))
26 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
27 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2826, 27abssubd 10525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))))
2928breq1d 3832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)))
30 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 subcl 7628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3332abscld 10513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
34 abs3lem 10443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵))))
3527, 30, 26, 33, 34syl22anc 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵))))
3633ltnrd 7543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)))
3736pm2.21d 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
3835, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
3938expd 254 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
4029, 39sylbid 148 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
4140impr 371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4241adantld 272 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4342expimpd 355 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4443rexlimdvw 2488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4525, 44sylan9r 402 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4645rexlimdva 2485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
475, 7, 46syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
4819, 47mpd 13 . . . 4 ((𝐹𝐴𝐹𝐵𝐴 # 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49483expia 1143 . . 3 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → (𝐴 # 𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
501, 49mt2i 606 . 2 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → ¬ 𝐴 # 𝐵)
51 apti 8043 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
524, 6, 51syl2an 283 . 2 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
5350, 52mpbird 165 1 ((𝐹𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356   class class class wbr 3822  cfv 4983  (class class class)co 5615  cc 7295  cr 7296  1c1 7298   < clt 7469  cmin 7600   # cap 8002   / cdiv 8081  cn 8360  2c2 8410  cz 8686  cuz 8954  abscabs 10329  cli 10564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-rp 9070  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-clim 10565
This theorem is referenced by:  fclim  10580  climeu  10582  climrecl  10609  isummolem2  10666  isummo  10667
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